Es sei (an) eine komplexe Zahlenfolge und bn = 1/n (a1 + . . + an) das arithmetische Mittel der Zahlen

Question

Aufgabe:

Es sei \( \left(a_{n}\right) \) eine komplexe Zahlenfolge und \( b_{n}=\frac{1}{n}\left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right) \) das arithmetische Mittel der Zahlen \( a_{1}, \ldots, a_{n} \).

Man zeige, dass

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=a \)

Man gebe eine divergente Folge an, für die die zugehörige Folge der arithmetischen Mittel konvergiert.

Comments

Du brauchst hier zum Beispiel die Definition von Konvergenz und die Dreiecksungleichung des Betrages, wie weit bist du selbst schon gekommen?

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Wenn ich richtig liege, bedeutet konvergent, wenn man sich immer mehr einem Wert nähert. Die Dreiecks-Ungleichung : Ιx+yΙ ≤ ΙxΙ+ΙyΙ. oder?

Nur weiß ich überhaupt nicht wie ich vorgehen muss.

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Ja, aber du solltest dir schon die tatsächliche Definition von Konvergenz, die ihr behandelt habt, vor Augen führen. Ein erster Schritt wäre vielleicht mal die mathematische Notation was nun genau gezeigt werden soll :).

Answer 1

Probiere es mal mit dem Ansatz:

ε>0

bn=(a1,...,an)/n

|an-bn|<ε/2

Beweisanfang:

|(a1-a)+...+(an-a)/n|<ε/2

Wähle dir nun ein k>n und versuche damit den Beweis fortzuführen, wenn du am Ende ε als lösung bekommst, dann bist du fertig :)

Comments

Deine Notation lässt ein wenig zu wünschen übrig.

"|an-bn|<ε/2"

Soll das bewiesen werden oder ist das deiner Meinung nach gegeben? 

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In der Vorlesung Haben wir vorausgesetzt, dass |a-bn|<ε/2 giltSorry für die schlechte Notation, könntest du mir sagen, wie Ich das besser formulieren kann?

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Jetzt schreibst du |a-bn|<ε/2, was denn nun?

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Ich weiß leider nicht, weich da auf ε kommen soll...

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@yakyu: Sry ich habe mich bei meinem Kommentar vertippt

@gk: Was hast du denn bis jetzt gemacht? Guck dir am besten nochmal deine Aufzeichnungen vom 12.5 an

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Ok, zu deiner Notation Frage:Du musst klar machen für welche \(n\) diese Beziehung gilt, sonst sagt sie nicht viel aus.

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Meine Aufzeichnungen helfen mir da leider auch nicht weiter. Ich gucke schon die ganze Zeit dort rein, Aber weiß trotzdem nicht wie  ich das auf die Aufgabe anwenden soll :(

Kann mir jemand noch Tipps geben?

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Such mal nach Cauchyscher Grenzwertsatz. Das müsste dir ausreichend weiterhelfen.