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Sei an eine Folge, sodass mit eine festem p ε R , 0<p<1 für alle n >=2 gilt

I an+1 - anI<= p*Ian-an-1I

Nun soll ich zeigen dass an eine Cauchyfolge ist aber weiß leider nicht wie.

EDIT(Lu): p aus den andern Buchstaben gemacht.


Bild Mathematik

von

Erstmal bitte die Aufgabenstellung korrigieren. Du hast da Q, p, und q. Soll das alles dasselbe sein?

Es soll alles ein p sein.. Danke habe mich scheinbar vertippt ..

Du musst hier im grunde nur mit der Definition arbeiten und ein bisschen abschätzen:

Die Frage hab ich schon mal hier gesehen hmmm.. lass dich mal hier inspirieren:

https://www.mathelounge.de/181056/zeigen-dass-eine-cauchy-folge-vorliegt

das hab ich schon gesehen aber danke .. Komme aber leider trotzdem nicht weiter

Wo dran scheitert es? Das ist ja quasi schon der Löwenteil der Lösung

Es scheitert glaube ich heute einfach an allem.. Ich sitze an der Aufgabe schon seit ein paar Tagen und bekomme weder die Induktion hin noch sonstiges und muss sie halt in na stunde abgeben ..

2 Antworten

+1 Daumen
wie habt ihr den cauchy-folge definiert, etwa so:
zu jedem eps > 0 gibt es ein no mit: aus  n>n0 folgt |an+1 - an | < eps    ?
oder so:           lim (an+1 - an) = 0

jedenfalls kannst du aus | an+2 - an+1 | <=   q | an+1 - an |
per Induktion herleiten     | an+2 - an+1 | <=   qn | a1 - a0 |

also kannst du abschätzen für |an+1 - an | <= qn-1 | a1 - a0 | und wegen |q|<1 bekommst du
in beiden Fällen das Ergebnis hin


von 228 k 🚀
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Hi, \( a_n \) ist eine Cauchyfolge genau dann, wenn gilt, zu jedem \( \epsilon > 0 \) ex. \( n_0 \in \mathbb{N} \) mit \( | a_n - a_m | < \epsilon \) für alle \( n,m \ge n_0 \)
Also betrachte \( | a_n - a_m | \) und o.B.d.A \( n \ge m \ge n_0 \) Dann gilt wegen der Dreiecksungleichung und der Voraussetzung
$$ | a_n - a_m | \le \sum_{k=m+1}^n | a_k -a_{k-1} | \le \sum_{k=m+1}^n q^{k-1} | a_1 - a_0 |  $$
Der letzte Term kann man wie folgt abschätzen (Geometrische Reihe)
$$ \sum_{k=m+1}^n q^{k-1} | a_1 - a_0 | \le \frac{1}{q}  | a_1 - a_0 | \left( \sum_{k=0}^n q^k - \sum_{k=0}^m q^k \right) = $$  $$ \frac{1}{q(1-q)} | a_1 - a_0 | q^{m+1} \left( 1-q^{n-m} \right) \le \frac{q^{m}}{1-q} | a_1 - a_0 | < \epsilon $$ falls \( n_0 \) groß genug ist.
Also ist \( a_n \) eine Cauchyfolge.

von 33 k

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