mehr als drei Vektoren im R3 sind stets linear abhängig.. Verständnisfrage.

Question

meine Aussage in der Überschrift steht so im Buch.

So jetzt ist danach eine Aufgabe im Buch wo gefragt wird: lässt sich dieser Vektor (xxx) aus diesen vier Vektoren linear kombinieren.

Die Lösung ist dann nein. Wobei ich gedacht hätte ja. Weil ja eben mehr als drei Vektoren stets linear abhängig sind.

Ich verstehe den Zusammenhang zwischen linear abhänging/unabhängig und Linearkombination nicht.

Danke für eine kurze Antwort.

Comments

Nur weil 4 Vektoren linear abhängig sind heißt es nicht, dass sich jeder mögliche Vektor aus einer Linearkombination dieser 4 Vektoren darstellen lässt.

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n linear unabhängige Vektoren spannen einen n-dimensionalen Raum auf.

Das bedeutet:

Aus 3 linear unabhängigen Vektoren kann ich mir jeden Vektor des R3 basteln.

Wenn ich einen Vektor des R3 nicht aus drei oder gar vier Vektoren bestaln kann müssen die 3 oder 4 Vektoren linear abhängig sein.

Bsp:

Kannst du aus

[1, 0, 0] ; [2, 0, 0] ; [3, 0, 0] ; [4, 0, 0] den Vektor [0, 0, 1] basteln?

Nö geht nicht. Weil die 4 Vektoren ja linear abhängig sind.

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Meine Güte.

Jetzt habe ich es kapiert.

Danke für die schnelle Antwort.

Answer 1

hättest besser die Aufgabe mit den konkreten Zahlen eingestellt.
Allgemein soviel:
in R^3 gibt es nie mehr als 3 Vektoren, die linear unabhängig sind.
und wenn 3 linear unabhängige vorhanden sind, kannst du mit denen
immer jeden anderen von R^3 als Liearkombination darstellen.
Hast du mehr als 3, so sind sie in R^3 immer linear abhängig.

Um zu schauen, ob du einen anderen damit als Lin.komb.
darstellen kann, nimmst du einfach deine 4 Vektoren
v1,v2,v, v4  und machst für den darzustellenden Vektor x den
Ansatz
a*v1 + bv2 + c*v3 + d*v4= x
und berechnest die reellen Zahlen abcd mit Hilfe des
so entstandenen Gleichuingssystems. Häufig gibt es dann
mehrere Lösungen, aber du brauchst ja nur eine.