Die auftauchenden Vektorräume sind als Vektorräume über dem Körper R aufzufassen.

Question

Aufgabe:

Alle in dieser Aufgabe auftauchenden Vektorräume sind als Vektorräume über dem Körper $\mathbb{R}$ aufzufassen. Welche der folgenden Funktionen sind linear, welche nicht (natürlich mit Begründung)?

a) $F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto x_{1} x_{2}$,

b) $G: \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, \mathbb{R})$ definiert durch

$(G(f))(n):=f(n)$

für $f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ und $n \in \mathbb{N}$,

c) $H: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, \mathbb{R})$ nekursiv wie folgt definiert: Für $\left(x_{0}, x_{1}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ seien

$\left(H\left(x_{0}, x_{1}\right)\right)(0):=x_{0} \quad \text { und } \quad\left(H\left(x_{0}, x_{1}\right)\right)(1):=x_{1}$

und für $n \geqslant 0$

$\left(H\left(x_{0}, x_{1}\right)\right)(n+2):=\left(H\left(x_{0}, x_{1}\right)\right)(n)+\left(H\left(x_{0}, x_{1}\right)\right)(n+1)$

Ansatz/Problem:

Welche der folgenden Funktionen sind linear und welche nicht? Bsp. F: R²->R, (x1,x2) → x1*x2 usw.

Die auftauchenden Vektorräume sind als Vektorräume über dem Körper R aufzufassen.

Welche der folgenden Funktionen sind linear und welche nicht linear? Bitte mit Begründung.

a) F : R2 →R, (x1,x2) → x1x2,

b) G : Abb(R,R) → Abb(N,R) denfiniert durch (G(f))(n) := f(n) für f ∈ Abb(R,R) und n ∈N,

c) H : R2 → Abb(N,R) rekursiv wie folgt denfiniert: Für (x0,x1) ∈ R2

seien

(H(x0,x1))(0) := x0    und       (H(x0,x1))(1) := x1

und für n > 0

(H(x0,x1))(n + 2) := (H(x0,x1))(n) + (H(x0,x1))(n + 1).

Answer 1

a) nicht linear, vergleiche F(2,2) = 4
                                              F(3,3) = 9
aber F(5,5) = 25 ungleich 4+9.

Comments

Hast du vielleicht noch eine Idee oder Tipp zur b) oder c)?

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b)  erst mal wäre ja G (f+g) = G(f) + G(g) zu prüfen, ob also

für alle n aus N gilt  G (f+g)(n) = (G(f) + G(g))(n)

das ist wohl wegen Def. von + für Abb'en so.

und  G( a*f) = a * G(f)  für alle a aus R stimmt wohl auch,

also G linear

c) hier wäre H ( (xo,x1) + (yo,y1)) =  H (xo,x1) + H(yo,y1) zu prüfen.

H ( (xo,x1) + (yo,y1)) =  H ( (xo+yo,x1+y1))

H ( (xo+yo,x1+y1))(0) = xo+yo

H ( (xo+yo,x1+y1))(1)=x1+y1

H ( (xo+yo,x1+y1))(2)=( xo+yo) + (x1+y1)   etc.

mit    H (xo,x1) + H(yo,y1) vergleichen, scheint auch zu stimmen.