Besitzt vec{v} eine Potentialfunktion? Wie berechnet man das Potential eines Vektorfelds?

Question

Aufgabe:

Man berechne die Jacobi-Matrix, die Divergenz div \( \vec{v} \) und die Rotation rot \( \vec{v} \) für das Vektorfeld

\( \vec{v}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 y^{2}+\cos (z) \\ 8 x y \\ -x \sin (z)+3 z^{2} \end{array}\right) \)

Besitzt \( \vec{v} \) eine Potentialfunktion?

Ansatz/Problem:

Ich soll die Jacobi Matrix, die Divergenz und die Rotation des Vektorfelds berechnen. Das hab ich schon berechnet:

Die jacobi matrix ist einfach J = (V/dx V/dy V/dz), die divergenz ist die div(v) = Vx/dx + Vy/dy + Vz/dz = 0 + 8x -x*cos(z) + 6z und die rotation ist einfach kreuz produkt gestellt also rot(v) = (0; sin(z); 0)

Die frage: Besitzt v eine Potentialfunktion? Wie berechnet man das?

Answer 1

Hi,

Du musst eine Funktion \( u(x,y,z) \) s.d. gilt \( \nabla u(x,y,z) = v(x,y,z) \) gilt. Die Funktion \( u(x,y,z) \) nennt man dann die Potentialfunktion von \( v(x,y,z) \)

Es muss also gelten \( u_x = 4y^2+\cos(z) \) D.h. es gilt \( u(x,y,z) = 4y^2x+\cos(z)x+f(y,z) \) mit einer beliebigen Funktion \( f(y,z) \), ähnlich einer Integrationskonstante.

Daraus folgt \( u_y = 8yx+f_y(y,z) = 8xy \) und daraus folgt \( f_y(y,z) = 0 \) also \( f(y,z) = g(z) \) und daraus

\(  u(x,y,z) = 4y^2x+\cos(z)x+g(z) \) daraus folgt \( u_z = -\sin(z)x+g'(z) = -x\sin(z) + 3z^2 \) und daraus \( g(z)  = z^3 \)

Also ist \(  u(x,y,z) = 4y^2x+x\cos(z)+z^3 \) eine Potentialfunktion

Comments

Also, muss ich eine funktion bilden die wenn man sie gegen X,Y und Z ableitet die matrix oben bekommen??

Also soll ich einfach Vx, Vy und Vz integrieren und sehen welche eine potentialfunktion ergibt???

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Ich habe meine Antwort noch erweitert. Schau da nochmal rein.

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also ich habe das so 90% verstanden, nur leider verstehe ich noch nicht das mit der g(x) funktion. wie geht das denn?? du hast geschrieben:

Daraus folgt \( u_{y}=8 y x+f_{y}(y, z)=8 x y \) und daraus folgt \( f_{y}(y, z)=0 \) also \( f(y, z)=g(z) \) und daraus

und wie hast du jetzt bekommen das g(z) = Z³ ist???

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wenn \( f_y(y,z) = 0  \) gilt, dann hängt \( f(y,z) \) sicher nicht von \( y \) ab sondern nur noch von \( z \) und das wird durch die Funktion \( g(z) \) ausgedrückt, die ja noch beliebig ist und erst im letzten Schritt bestimmt wird.