Wie sehen hier die zweiten Ableitungen aus?
Die ersten wären soweit kein Problem:
F(r,φ)=f(rcos(φ),rsin(φ))
dF/dr = fx cos(φ) +fy sin (φ)
dF/dφ =-fx (rcos(φ), r sin(φ))rsin(φ)+ fy (r cos(φ),rsin(φ))rcos(φ)
Hi,\( F(r,\varphi) \) kann geschrieben werden als \( F/r,\varphi) = f(x(r,\varphi), y(r,\varphi)) \)Damit ergeben sich die Ableitungen zu$$ F_r = f_xx_r+f_yy_r $$$$ F_\varphi = f_xx_\varphi + f_y y_\varphi $$Daraus ergebn sich die zweiten Ableitungen zu $$ F_{rr} = (f_{xx} x_r + f_{xy} y_r) x_r + f_x x_{rr} + (f_{yx} x_r + f_{yy} y_r)y_r + f_y y_{rr} $$ Genausso geht auch die zweite Ableitung nach \( \varphi \)
Aus \( x = r\cos(\varphi) \) und \( y = r \sin(\varphi) \) kann man \( x_r \) und \( y_r \) bzw. \( x_\varphi \) und \( y_\varphi \) berechnen.
Ist dann:
Fφφ = (fxx xφ +fxy yφ) xφ + (fyx xφ + fyy yφ) yφ + fx xφφ +fy yφφ (??)
= (fxx (-rsin(φ) +fxy cos(φ))(-sin(φ)r)+(fyx (-rsin(φ))+ fyy rcos(φ)) r cos(φ) +fx (-rcos(φ))+ fy (-rsin(φ))
natürlich etwas schöner aufgeschrieben dann :-)
Fast, im ersten Ausdruck bei \( f_xy \) hast Du vor dem Cosinus ein \( r \) vergessen.
Mal eine andere Frage, brauchst Du das für die Transformation des Laplaceoperators?
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