Vollständige Induktion Ungleichung

Question

Hallo Forum-Mitglieder,


als Nachbereitung habe ich ein paar Aufgaben zum Thema vollständige Induktion durchgerechnet und bin auf folgende Aufgabenstellung gekommen, mit der ich überhaupt nicht klar komme:

Kann ich diese mit  Vollständiger Induktion beweisen, quasi, dass die Werte genau zwischen n/2 und n sein müssen???

Desweiteren wollte ich fragen: Ich schreibe ja schon in ein paar Monaten meine Klausur zur Analysis 1... Deswegen wollt eich euch fragen, ob es irgendwo Übungen gibt, mit denen ich gemachtes wiederholen könnte. Gibt es auch irgendwelche Standardaufgaben/-techniken, die man generell für Analysis 1 Klausuren bracht?

Answer 1

Ich musste beim Induktionsschritt auch erstmal ein wenig grübeln.

Induktionsanfang: n = 2

∑ (k = 1 bis 2^n - 1) (1/k) > n/2

∑ (k = 1 bis 2^2 - 1) (1/k) > 2/2

∑ (k = 1 bis 3) (1/k) > 1

1/1 + 1/2 + 1/3 > 1

stimmt.

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (k = 1 bis 2^{n + 1} - 1) (1/k) > (n + 1)/2

∑ (k = 1 bis 2·2^n - 1) (1/k) > n/2 + 1/2

∑ (k = 2^n bis 2·2^n - 1) (1/k) > 1/2

1/(2·2^n - 1)·((2·2^n - 1) - 2^n + 1) > 1/2

2^n/(2·2^n - 1) > 1/2

1/(2 - 1/2^n) > 1/2

stimmt.

Ich habe die erste Häfte gezeigt Du solltest noch selber zeigen das die Summe auch < n ist.

Comments

Vielen Dank Der_Mathecoach!

Aber irgendwie habe ich deine Vorgehensweise nicht verstanden. Wieso gehst du schon bereits am Anfang davon aus, dass die Summe größer als (n+1)/2 sein muss???

Hast du etwa nur die Richtigkeit der Ungleichung beweisen? Gilt das als Beweis?

LG

Orbi

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Wir sollen ja zeigen das es für alle n gilt. Wenn ich weiß, dass es für ein n gilt, muss ich zeigen das es für n + 1 gilt. Also kann ich das was ich beweisen will ja so formal schon mal aufschreiben.

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Okay, danke...

Den Schritt habe ich jedoch noch nicht ganz verdstanden:

∑ (k = 2ⁿ bis 2·2ⁿ - 1) (1/k) > 1/2

1/(2·2ⁿ - 1)·((2·2ⁿ - 1) - 2ⁿ + 1) > 1/2

Wie kommen Sie auf diese Umformung?

LG

Orbi

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∑ (k = 2ⁿ bis 2·2ⁿ - 1) (1/k) > 1/2

Man nimmt das größte k was auftreten kann 2·2ⁿ - 1. Damit kann man ale Sumanden nach unten Abschätzen mit 1/(2·2ⁿ - 1).

Nun multipliziert man das noch mit der Anzahl an Summanden.

Das gibt den gewünschten Term.

Answer 2

na klar, fängst du mit n=2 an:
2/2 < 1/1 + 1/2 + 1/3 < 4  stimmt ja wohl.
Dann zeigst du wie immer:
wenn es für n gilt, dann auch für n+1 .