Konvergenzradien bestimmen und Konvergenzverhalten untersuchen. Bsp. Summe von ((n^7/2^n) * z^n)

Question

Aufgabe:

32. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
(a) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{7}}{2^{n}} \cdot z^{n} \)
(b) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n^{n} z^{n} \)
(c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} 3^{n}} \cdot z^{2 n} \)
(d) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 4^{n !} z^{n !} \)
Untersuchen Sie auch das Konvergenzverhalten dieser Reihen auf dem Rand ihres Konvergenzkreises.

Hinweis: Beachten Sie, dass es sich in den Teilen (c) und (d) um sogenannte "Lückenreihen" handelt, bei denen unendlich viele \( a_{n}=0 \) sind. Hier ist die Eulersche Formel für den Konvergenzradius nicht ohne weiteres anwendbar, auch bei der Formel von Cauchy-Hadamard ist Vorsicht geboten.

Comments

Welche Konvergenzkriterien hast du dir denn schon angeschaut und wie weit bist du selbst gekommen?

Answer 1

z.B. bei a)
Konvergenzradius kann mit lim (n gegen unendlich) a_n/a_n+1 bestimmt werden:
a_n/a_n+1 = 2n⁷ / (n+1)⁷ = 2* (n/(n+1))⁷ hat Grenzwert 2, alos r=2
und für |z|=2 gilt
| a_n*zⁿ| = | zⁿ * n⁷ / 2ⁿ | = | zⁿ|*|  n⁷|  /  |2ⁿ |
= | 2ⁿ|*|  n⁷|  /  |2ⁿ | = n⁷ ≥ 1
und eine Reihe, deren Summanden Beträge ≥ 1 haben,
konvergiert nicht; also keine Konvergenz auf dem Rand des
Konv.kreises.

Es gibt dann noch so Kriterien wie Wurzel-Kriterium etc.