Extremstellen einer Wurzelfunktion berechnen

Question

Meine Ansätze hierzu:

Aufgabenteil 1a) Ganz R\{1}


UND

Ich bin jetzt irritiert. Wie habe ich weiter zu rechnen? Sind meine x1/2/3 schon die Werte, die ich suche und in f''(x) einsetzen muss?

Comments

Hi, deine Lösung zu 1.a) ist schon mal falsch. In deiner Lösung zu dem anderen Teil muss es statt "Voraussetzung" natürlich "Voraussetzung" heißen!

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Ups peinlich !

Liegt es daran, dass nicht nur der Nenner nicht 0 werden darf, sondern auch der ganze Bruch nicht negativ? Also Df: R\{1} = [0,∞[ ?

Dann ist wahrscheinlich mein x1/2 auch falsch, da D auf R abbildet und nicht auf C oder?

Also sollte für mich dann nur noch x=-1 in Frage kommen? Sprich Vorzeichenvergleich?

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Hi, der Radikand darf nicht negativ sein. Damit lässt sich der Definitionsbereich des Funktionsterms (also der maximale Definitionsbereich der Funktion) bestimmen. Schau mal, ob Du das hinbekommst!

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Meine Überlegung war genau deine Aussage, der Radikant darf nicht Negativ werden ( und der Nenner auch nicht Null). Also dachte ich mir:

Df: R\{1} = [0,∞[  nur weiß ich ncht, ob die schreibweise richtig ist.

Nein, die Schreibweise ist nicht richtig, es muss "Radikand" heißen!

Um den Definitionsbereich zu bestimmen, musst Du

$$\frac{3+x^2}{x+1} \ge 0$$und
$$x+1 \ne 0$$nachrechnen!

Answer 1

term = ( 3 + x²  )  / ( x - 1 )
term ´ = [ 2x * ( x + 1 ) - ( 3 + x² ) * 1  ] / ( x + 1 )²
term ´ = [ 2x²  + 2x  - 3 - x²  ] / ( x + 1 )²
term ´ = [ x²  + 2x  - 3  ] / ( x + 1 )²

( √ term  ) ´ = term ´ / ( 2 * √ term )
Extremstellen : 1 Ableitung = 0
Das ist der Fall wenn term ´= 0 ist

[ x²  + 2x  - 3  ] / ( x + 1 )² = 0
Dies ist der Fall enn der Zähler 0 ist
x²  + 2x  - 3 = 0  | pq - Formel oder quadratische Ergänzung

x = 3
und
x = -1

Plotlux öffnen

f₁(x) = (3+x² ) /(x-1)Zoom: x(-5…10) y(-10…10)

Comments

Leider habe ich einen falschen Zähler verwendet.
Anstelle
( x -1 )
muß es
( x + 1 )
heißen.

Reicht dir der Lösungsweg trotzdem ?

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Zähler oben, Nenner unten!

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ja reicht aus danke :) Rechne trotz allem alles selber nochmal gerade nach um es zu verstehen.
Mich wundert es nur wieso ich so eine monstrige Ableitung hergezaubert habe.

term ´ / ( 2 * √ term )

würde f'(x) dann so aussehen:

f'(x) =  ( (x^2-2x-3) / (x-1)) / ( 2*√ √ ( (3+x^2) / ( x-1) )

Lösen sich beide Wurzeln auf ode bleibt da tatsächlich zwei Mal Wurzel stehen?

Sieht das ganze umgeschrieben nicht so aus ((a^1/2)^1/2) = a^1/2+1/2 = a^1 = a ?

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Meine Überlegung war genau deine Aussage, der Radikant darf nicht Negativ werden ( und der Nenner auch nicht Null). Also dachte ich mir:

Df: R\{1} = [0,∞[  nur weiß ich ncht, ob die schreibweise richtig ist.

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Df:= {x ∈ ℝ | x ≥ -1} ?

ansonsten hab ich wirklich einen gewaltigen Denkfehler.

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Ich bitte darum, Diskussionen an der richtigen Stelle zu führen!

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Fehlerkorrektur
anstelle ( x -1 )
muß es heißen
term = ( 3 + x²  )  / ( x + 1 )

Ergebnisse
x = -3
und
x = 1

Der Fehler wurde auch in der Grafik weitergeführt.
Eine richtige Grafik ist

 

Hier sieht man auch das die Lösung x = -3 außerhalb des
Def-Bereichs liegt.

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f'(x) =  ( (x²-2x-3) / (x-1)) / ( 2*√ √ ( (3+x²) / ( x-1) )
Hier ist relativ viel falsch insbesondere die interessante Doppelwurzel

Richtig wäre
( √ term  ) ´ = term ´ / ( 2 * √ term )
f ´( x ) = [ ( x²  + 2x  - 3 ) / ( x + 1 )² ]   / [ 2 * √ ( (3+x²) / ( x + 1) ]

Da wir nur die Extremwerte suchen bedeutet dies
f ´( x ) = 0
und somit
[ ( x²  + 2x  - 3 ) / ( x + 1 )² ] = 0
und somit
x²  + 2x  - 3 = 0

Answer 2

f(x) = √((3 + x²)/(x + 1))

x + 1 ≠ 0
x  ≠ -1

(3 + x²)/(x + 1) >= 0
x > -1

f'(x) = (x² + 2·x - 3)/(2·(x + 1)^3/2·√(x² + 3)) = 0

x = 1

Bei x = 1 hat man ein Minimum. An den Grenzen des Definitionsbereichs haben wir unendlich große Funktionswerte.

Answer 3

$$\text{Gegeben ist die Funktion } f : D \rightarrow \mathbb{ R } \text{ mit } f(x)=\sqrt{ \frac{3+x^2}{x+1}}.\\ \left.\text{a}\right) \text{ Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich } D \text{ von }f.\\ \left.\text{b}\right) \text{ Untersuchen Sie }f\text{ auf lokale und globale Extremstellen.}$$

zu a): Der Radikand darf nicht negativ werden. Da sein Zähler $(3+x^2)$ offenbar immer positiv ist, muss sein Nenner $(x+1)$ auch immer positiv sein, womit er insbesondere auch von Null verschieden ist. Damit ist $D=\left\{\left.x\in\mathbb{R} \,\right|\, x>-1\right\} = \left]1,\infty\right[.$

zu b) Da $f$ dieselben Extremstellen hat, wie die einfacher zu untersuchende Funktion $g$ mit $g(x)=\left(f(x)\right)^2$, betrachte ich nun $g$: Es ist

$$g'(x) = \frac{2x\cdot (x+1)-\left(3+x^2\right)}{\left(x+1\right)^2} = \frac{(x+3)\cdot(x-1)}{\left(x+1\right)^2}$$Die einzige, im Definitionsbereich liegende Nullstelle von $g'$ ist also $x=1$. An dieser Stelle weist $g'$ einen $(-/+)$-Vorzeichenwechsel auf, so dass eine lokale Tiefstelle von $g$ und damit auch von $f$ vorliegt. Da $f$ stetig differenzierbar auf $D=\left]1,\infty\right[$ ist, ist $x=1$ als einzige lokale Extremstelle auch eine globale Extremstelle und $T(1|\sqrt{2})$ der absolute Tiefpunkt von $f$.