Wie berechnet man die Ausdehnungslänge des Pfeilers?

Question

Ich habe ein extrem mathematisches Problem zu folgender Aufgabe aus der Physik:

Ein Brückenpfeiler (50m Höhe) stützt eine Brücke (100m Länge) in der Mitte. Wenn sich der Brückenpfeiler ausdehnt, krümmt sich die Brücke nach oben. Dabei gilt ein minimaler Krümmungsradius von 20km als gefährlich... wie ermittele ich mit diesen Angaben die max. zulässige Längenausdehnung des Pfeilers?

Answer 1

Zeichne dir eine Nach oben gebogene Brücke mit dem Krümmungsradius senkrecht und zu einem Brückenende. Zeichne dann die waagerechte halbe Brückenlänge von 50 m.

Stelle den Satz des Pythagoras auf. d entspricht bei mir die Längenausdehnung.

(20000 - d)^2 + 50^2 = 20000^2

Auflösen nach d

d = 0.0625

Die Brücke sollte gerade noch eine Längenausdehnung von 6.25 cm verkraften.

Comments

Du gehst bei deiner Modellvorstellung davon aus
die Brücke läge auf dem Krümmungskreis.

Ich halte einen parabelförmigen Verlauf der Brücke für
realistischer.

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naja aber es ist ja auch von einem Krümmungsradius die Rede.. also kann man doch davon ausgehen, dass die Brücke Teil dieses Kreissegments ist...

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Naja. Eben nicht.
Prinzipiell berührt der Krümmungskreis die Funktion nur in einem Punkt.

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Modellmäßig kann man sicher einen Kreisbogen annehmen solange kein anderes Vorwissen existiert.

Ansonsten ist die Frage in welchem Fach das zu berechnen ist und was für ein Vorwissen man hat. Dazu müsste dann der Fragesteller genauere Auskunft geben.

Ich sehe zumindest kein Grund anzunehmen warum die Modellierung als Kreisbogen falsch sein soll und die Modellierung als Parabel richtig.

Vielleicht sagt der Fragesteller ja noch etwas dazu was für ein Vorwissen existiert. Vielleicht ist das ein Problem aus der Statik von Brücken im Studium. Dann würden wir uns hier sicher über das zugrunde liegende Fachwissen freuen.

Answer 2

Ich gehe von einer parabelförmigen Verformung der Brücke aus
und lege den Ursprung in die Mitte der Brücke bei ( 0 | 0 ) bzw. ( 0 | b ).
Der rechte Endpunkt der Brücke wäre ( 50 | 0 ).
f ( x ) = a * x^2 + b

Bezüglich des Krümmungskreises habe ich einmal nachgeschaut
und dafür gilt : g ( x ) = Kreisgleichung
f ( x ) = g ( x )
f ´( x ) = g ´ ( x )
f ´´( x ) = g ´´ ( x )

Für die Funktion und den Krümmungskreis in einem Punkt gilt :
Funktionswert, 1.Ableitung und Krümmung sind gleich.

f ( x ) = a * x^2 + b
f ´ ( x ) = 2 * a * x
f ´´ ( x ) = 2 * a

Radius des Krümmungskreises 20000 m
Krümmung = 1 / | 20000 |

2a = 1 / | 20000 |
a = 1 / |  40000 |

Wobei in diesem Fall gilt
a = - 1 / 40000

f ( x ) = -1 / 40000 * x^2 + b
f ( 50 ) = -1 / 40000 * 50^2 + b = 0

1 / 40000 * 50^2 + b = 0
b = 0.0625

f ( x ) = - 1 / 40000 * x^2 + 0.0625

Naja. Es kommt in diesem Fall, wahrscheinlich durch den
großen Krümmungsradius bedingt,  dasselbe wie in der
anderen Antwort heraus.

Comments

Prinzipiell gehen beide Ansätze. Warum einer dem anderen vorzuziehen sein sollte ins Unklar. Ich hatte schon öfter solche Aufgaben und in der Regel rechnet man hier mit einem Kreis. Gerade weil für große Krümmungsradien ein Kreisteil sich von einem Parabelteil nicht so sehr unterscheidet.

So kann man das Trageseil der Golden Gate über eine Kreisfunktion, eine Parabel oder eine Kettenlinie nähern. Dabei liefert die Kettenlinie das beste Näherung.

Es wäre zu klären ob Brücken sich eher parabelformig oder Kreisförmig durchbiegen.

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Ich habe als Programmierer das Programm " Statik für den allgemeinen
Hochbau " geschrieben. Ich bin allerdings kein Statiker.

In manchen Bauteilen wird auch die Biegelinie mitberechnet und
auch als Grafik angezeigt. ich könnte mich noch näher damit beschäftigen.

Ansonsten mache ich den Vorschlag : wir bauen 3 Dehnungsfugen ein.
Am Ende, Anfang und in der Mitte.  Dann können die 2 Betonteile bei Ausdehnung
( Brücke selbst oder Pfeiler ) gerade bleiben.

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Es würde auch darauf ankommen wie die Lagerung der Brücke an den
Endpunkten ist
- drehbar gelagert
- eingespannt
Es ergeben sich dann andere Verformungen.