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Es geht um Kegelschnitte. Ich weiß immer noch nicht wie man so richtig die Art bestimmt. 

Laut meinem Buch steht folgendes

Kreis: A=B

Ellipse: A*B > 0 ,    A≠B

Hyperbel: A*B <0

Parabel: A=0 , B≠0  oder B=0 und A≠0


Nun ich habe hier ein Paar Aufgaben wo ich die Art bestimmen muss


a) x2 -2x+y2 +4y- 20 = 0

b) x2 -y2 -4= 0

c) 9x2 +16y2 -18x = 135

d) y2 +2x = 4y


Die Lösungen sind 

a = Kreis

b= Hyperbel 

c= Ellipse

d= Parabel


aber warum ist es bei a) ein Kreis?? Wenn die Bedingung A=B sein soll warum ist es ein Kreis. Ich meine A und B sind doch nicht gleich. Ich bin von den ersten beiden Werten mal ausgegangen 

Irgendwie verstehe ich das ganze nicht. Wie kann man das erkennen? Woher weiß ich das es ein Parabel, Ellipse oder Hyperbel ist

von

2 Antworten

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Mach erst mal quadratische Ergänzung und schaue dann, was du hast.

a) x^{2} -2x+y^{2} +4y- 20 = 0

(x^2 - 2x +1 ) + (y^2 + 4y + 4) = 20 + 1 + 4

 (x - 1)^2 + (y+2)^2 = 25 

Kreis mit Mittelpunkt M(1|2) und Radius √(25) = 5 

b) x^{2} -y^{2} -4= 0

(x-0)^2 - (y-0)^2 = 4 

---> Form erkennen: Hyperbel

Kontrolle mit 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E(2)+-y%5E(2)+-4%3D+0

Skärmavbild 2018-01-12 kl. 09.34.53.png
c) 9x^{2} +16y^{2} -18x = 135

x^2 - 2x + 16/9 y^2 = 15

x^2 - 2x + 1 + 16/9 y^2 = 15 + 1

(x-1)^2 + 16/9 y^2 = 16

---> Müsste eine Ellipse sein mit Zentrum Z(-1|0). Oder? 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=9x%5E(2)+%2B16y%5E(2)+-18x+%3D+135

Skärmavbild 2018-01-12 kl. 09.37.56.png


d) y^{2} +2x = 4y

y^2 - 4y = - 2x 

y^2 - 4y + 4 - 4 = - 2x

(y-2)^2 - 4 = -2x

-1/2 (y-2)^2 + 2 = x

Parabel ! Allerdings liegend und nach links geöffnet. (x-und y-Achse sind vertauscht!) 

Scheitelpunkt hat Koordinaten  y=2 und x = 2 

Laut meinem Buch steht folgendes

Kreis: A=B

Ellipse: A*B > 0 ,    A≠B

Hyperbel: A*B <0


Parabel: A=0 , B≠0  oder B=0 und A≠0
A und B musst du der Grundform der Kegelschnittgleichungen entnehmen. Die steht in deinem Buch. Die gegebenen Gleichungen dann auf die vorgegebene Form bringen.

von 159 k 🚀
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Ich denke mal, deine A und B beziehen sich auf die

Kegelschnittgleichungen ohne xy-Glied ( also nach einer

ggf. fälligen Hauptachensentransformation. 

Die sehen dann alle so aus

(siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt#Allgemeine_Kegelschnittgleichung) 

Ax2 + By2 +Cx + Dy + E = 0     #

Bei deiner 1. Aufgabe 

x2 -2x+y2 +4y- 20 = 0  schreibst du vielleicht besser

x2 +y2 -2x+4y- 20 = 0 und siehst im Vergleich mit #

A=1   B=1   C=-2   D=4   E=-20 

also insbesondere A=B , also ein Kreis.

etc.

von 195 k 🚀

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