Grenzwerte auf Existenz lim gegen 0- für x/tan(x) und 1/x - 1/tan(x)

Question

Ich habe mich mit der Aufgabe auseinandergesetzt allerdings komme ich leider nicht weiter :(

Untersuche die folgenden Grenzwerte auf Existenz und berechne sie gegebenenfalls.

1.  $${ lim }_{ x\quad ->\quad 0- }\quad \frac { x }{ tanx }$$

2. $${ lim }_{ x\quad ->\quad 0- }\quad \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ tan(x) }$$

Ich bedanke mich bei Rückmeldung :)

Answer 1

relativ bekann ist der Grenzwert von  x / sin(x) für x gegen 0, das ist nämlich 1

und wegen tan = sin / cos

hast  du     x/tan(x)  =    x * cos(x) / sin(x)  =    x/sin(x)  *   cos(x) 

also Grenzwert  1 * 1  = 1

Answer 2

lim (x --> 0-) x / tan(x)

lim (x --> 0-) x·COS(x) / SIN(x)

lim (x --> 0-) (COS(x) - x·SIN(x)) / COS(x) = 1

Comments

lim (x --> 0-) 1/x - 1/TAN(x)

lim (x --> 0-) (SIN(x) - x·COS(x)) / (x·SIN(x))

lim (x --> 0-) (x·SIN(x)) / (x·COS(x) + SIN(x))

lim (x --> 0-) (x·COS(x) + SIN(x)) / (2·COS(x) - x·SIN(x)) = 0

Answer 3

0 / 0. Ein Fall für l´Hospital
x ´/ [ tan(x)] ´= 1 / ( tan^2(x) + 1 )
lim x −> 0(-)  [ 1 / ( tan^2(x) + 1 ) ] = 1 / 1 = 1

~plot~ x / tan(x) ~plot~

Comments

~plot~ 1/x - 1 /tan(x) ~plot~

Wäre noch die rechnerische Herleitung zu klären.

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1/x - 1/tan(x)
( tan ( x ) - x ) / ( x * tan( x ) )
0 / 0
l´Hospital angewendet ergibt wieder 0 / 0
l´Hospital ein 2.Mal angewendet ergibt 0 / 2 und somit 0

Die Rechnung wurde mit einem Matheprogramm durchgeführt.
Die entstehende Formel ist allerdings sehr lang.