Funktionsterm und Integral bestimmen aus Textaufgabe zu Wachstum von Population von Schädlingen.d

Question

Hallo zu später Stunde,

sitze grade noch an einer Textaufgabe und komm nicht wirklich klar.

Ein Bauer entdeckt ein Schädlingsproblem. Er zählt zu Beginn 50 Schädlinge pro m² und hat eine befallene Fläche von 200m² .

Jeder Schädling frisst pro Tag 1,2 g Blätter.

Sie vermehren sich außerdem in den nächsten 30 Tagen mit einer Verdopplungszeit von 5 Tagen.

a) Die Schädlingsmenge S(t) pro m²  _{die nach t Tagen vorhanden ist, lässt durch eine Funktion S: [0,30] -> ℝ beschreiben.Bestimmen sie den Funktionsterm von S.}

b) Die insgesamt auf der befallenen Fläche in 15 Tagen seid Beginn der Beobachtung gefressene Blattmasse lässt sich durch ein Integral darstellen. Geben sie dieses an und berechnen sie es.

Bei a würde ich ja noch vermuten, dass man das mit 

f(t) bzw. S(t) = a*e^kt   

macht. 

Also:

S(t) = 50 * e^5k = 100  

        <= >  e^5k  =2

          <=> 5*k = ln(2)

           <=> k= ln(2) / 5

                   k = 0,1386

S(t) = 50e^{0,1386 * t}

Stimmt das so?

Aber bei b. fehlt mir der Ansatz was ich da machen muss...

Danke liebe Leute :)

Answer 1

Ein Bauer entdeckt ein Schädlingsproblem. Er zählt zu Beginn 50 Schädlinge pro m² und hat eine befallene Fläche von 200 m². Jeder Schädling frisst pro Tag 1.2 g Blätter. Sie vermehren sich außerdem in den nächsten 30 Tagen mit einer Verdopplungszeit von 5 Tagen.

a) Die Schädlingsmenge S(t) pro m²  die nach t Tagen vorhanden ist, lässt durch eine Funktion S: [0,30] -> ℝ beschreiben. Bestimmen sie den Funktionsterm von S.

S(t) = 50·2^{t/5} = 50·e^{0.1386·t}

b) Die insgesamt auf der befallenen Fläche in 15 Tagen seid Beginn der Beobachtung gefressene Blattmasse lässt sich durch ein Integral darstellen. Geben Sie dieses an und berechnen sie es.

∫ (0 bis 15) 200·1.2·50·e^{0.1386·t} dt = 605755 g = 0.6058 t

Answer 2

S(t) = 50e^{0,1386 * t}

Stimmt das so?

Prima Lösung, kannst du ja testen, wenn du für t=0  ;5   ;  10 ,,  15 einsetzt

bekommst du   50;   99,98    199,94     399,8 

also ziemlich genau die Vorgabe.

b) weil S(t) die zum Zeitpunkt t vorhandene Zahl der Schädlinge liefert, ist

und jeder frisst 1,2 g pro Tag ist   

1,2 * S(t) *200  s. Fehlerhinweis

die Änderung der Blattmasse zum Zeitpunkt t.

Das kann man sich am leichtesten so vorstellen, wenn die Schädlingszahl

konstant = k wäre, dann wäre die in 15 Tagen gefressene Masse  1,2 * k * 15

und bei variabler Schädlingszahl dann eben das Integral über die

Änderungsfunktion von 0 bis 15, also  so wie es in der anderen

Lösung steht.

Comments

Fehlerhinweis
weil S(t) die zum Zeitpunkt t vorhandene Zahl der Schädlinge liefert,
ist  und jeder frisst 1,2 g pro Tag ist 

Richtig
weil S(t) die zum Zeitpunkt t vorhandene Zahl der Schädlinge pro m^2 liefert,

Also noch mal 200.

Siehe die Lösung des Mathecoaches.

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Danke, guter Hinweis.