Grenzwert lim n->00 (ln((an)+(bn)))/n

Question

Guten  Abend.

Könnte mir jemand den kompletten Lösungsweg zeigen?

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{ln(a^n+b^n)}{n} \quad a>b>1$$

Vielen Dank

EDIT (Lu): n herunterverschoben gemäss Kommentar.

Comments

Sicher, dass deine Formel richtig ist? Das erste "n" soll doch bestimmt vor das Unendlich-Zeichen? Sonst kommen nachher Antworten auf eine falsche Formel. :P

Answer 1

Also mit L'Hospital sollte es gehen, da wir ja

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{ln(a^n+b^n)}{n} = \frac{\infty}{\infty}$$

wegen a,b>1 haben:

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{ln(a^n+b^n)}{n} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a^n ln(a)+b^nln(b)}{a^n+b^n}$$

$$= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{a^n ln(a)}{a^n+b^n} + \frac{b^nln(b)}{a^n+b^n} \right) = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{ln(a)}{1+\frac{b^n}{a^n}} + \frac{ln(b)}{\frac{a^n}{b^n}+1} \right)$$

$$= \frac{ln(a)}{1+0} +\frac{ln(b)}{\infty+1} = ln(a) \ .$$

Im vorletzten Schritt wurde a>b verwendet. Das Unendlich-Zeichen dort ist mathematisch nicht korrekt, soll aber deutlich machen, wieso der Bruch 0 wird.

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Muss mich nochmal entschuldigen. L´hospital darf ich nicht benutzen.

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Das geht auch ohne L'Hospital
$$\frac{\ln \left(a^n +b^n \right)}{n} = \frac{1}{n} \left[ \ln\left(a^n\right) +\ln\left( 1+\left(\frac{b}{a}\right)^n \right) \right] = \ln(a) +\frac{1}{n} \ln \left( 1 + \left( \frac{b}{a} \right)^n \right)$$
Der zweite Summand geht gegen $0$ wegen $\frac{b}{a} < 1$ also ist der Grenzwert, wie schon berechnet $\ln(a)$

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Habs glaube ich verstanden.

Answer 2

Vielleicht solltest Du wenigstens die Aufgabe richtig aufschreiben.

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(a^n+b^n)}{n}$$ für $a > b > 1$

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tschuldigung. Habs irgendwie nicht richtig hingekriegt. ullim hat die Aufgabe richtig geschrieben.

Answer 3

Divergiert auf Grund der Krankenhausregel.




    lim  =  lim  a  ^ n  ln  (  a  )  +  b  ^ n  ln  (  b  )

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Wie lautet diese Regel?

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Ihr Spitzname; Regel von Hospital = Krankenhausregel. Ist dir bekannt, wie man Grenzwerte der form 0 / 0 bzw. ( ^^ ) / ( °° ) berechnet?

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Korrekte Ableitungen wären dabei sicher hilfreich.