Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden L := E1 ∩ E2.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei Ebenen in \( \mathbb{R}^{3}: E_{1}=\left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right) \mid s, t \in \mathbb{R}\right\} \) und

\( E_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+2 y-3 z=13\right\} \)

(b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden \( L:=E_{1} \cap E_{2} \).

(c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt \( Q_{*} \) von \( L \) mit der \( y z \)-Koordinatenebene.

(d) Bestimmen Sie eine Ebene durch \( Q_{*} \) orthogonal zu \( L . \)

Ansatz/Problem:

Mein Ergebnis zu b ist: (1,3,-2) + t(2.2.2). Richtig?

Answer 1

Ich bestimme E1 auch in Korordinatenform

n1 = [0, 1, -2] ⨯ [2, 3, 0] = 2 * [3, -2, -1]

x * [3, -2, -1] = [1, 1, 2] * [3, -2, -1]
3x - 2y - z = -1

Den Normalenvektor von E2 ist bereits ablesbar mit n2 = [1, 2, -3]

Damit hat die Schnittgerade den Richtungsvektor

n1 ⨯ n2 = [3, -2, -1] ⨯ [1, 2, -3] = 8 * [1, 1, 1]

Damit ist dein Richtungsvektor richtig.

Das dein Punkt auch richtig ist sieht man durch Einsatz in die beiden Ebenengleichungen.