Abhängig von der verwendeten Definition der Exponentialfunktion kommt man auf verschiedene Beweise. Ich gebe mal ein paar Beispiele:
1. \( \exp(x):=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n \).
Sei \(x\in\mathbb{R} \) beliebig. Es reicht zu zeigen, dass \( 1+\frac{x}{n} > 0 \) für genügend große \(n\). Dies gilt insbesondere dann, wenn diese Folge gegen \(1\) konvergiert. Sei \(\varepsilon > 0\), dann gilt für jede natürliche Zahl \(n > \frac{x}{\varepsilon}\) gerade \( | \frac{x}{n} | < | x\frac{\varepsilon}{x} | = \varepsilon \) und damit folgt die gewünschte Aussage.
2. \( \exp(x):=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \).
Der Konvergenzradius der Reihe ist unendlich, die Reihe konvergiert stets absolut. Es gilt daher aufgrund der Cauchy-Produktformel und dem binomischen Lehrsatz für alle \(x\in\mathbb{R}\)
$$ \exp(x)\exp(-x) = \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \right) \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k (-x)^{n-k}}{(n-k)!k!} \right) $$
$$ = \sum_{n=0}^\infty \left( x^n \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{n-k}}{(n-k)!k!} \right) \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{n!} \left( \underset{=(x-x)^n}{\sum_{k=0}^\infty \binom{n}{k} x^k (-x)^{n-k}} \right) \right) = \exp(x-x) = \exp(0) = 1. $$
Daraus folgt insbesondere \( \exp(x) \neq 0\). Nehme nun an, dass es ein \(x\in\mathbb{R} \) gibt mit \(\exp(x) < 0\). Dann gilt wegen \(\exp(x)\exp(-x)=1\) auch \(\exp(-x) < 0\), aber entweder \(x\) oder \(-x\) ist nichtnegativ, o.B.d.A. sei \(-x\) nichtnegativ. In diesem Fall ist aber jeder Summand der Exponentialreihe nichtnegativ und die gesamte Reihe positiv. Also muss die Annahme, dass es ein \(x\) mit \(\exp(x)<0\) existiert, falsch sein.
3. \( \exp \) ist die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems \( x'(t) = x(t),~x(0)=1\).
Wenn man die Funktion so definiert geht der Beweis wie folgt: Wegen \(x(0)=1\) ist \(x(t)\neq 0\) für alle \(t\in \mathbb{R}\) denn andernfalls wäre aufgrund der Eindeutigkeit der Lösung der DGL \(x(t)\equiv 0\), aber diese Funktion löst das Anfangswertproblem nicht. Nehme nun an, es gebe ein \(t_0\) mit \(x(t_0) < 0\). Da \(x\) differenzierbar ist, ist \(x\) stetig und da zusätzlich \(x(0)=1\) gibt es ein \(\xi\) zwischen \(0\) und \(t_0\), sodass \(x(\xi) = 0\), aber dies ist nicht möglich wie wir gerade gesehen haben. Also gilt \(\exp(t)=x(t)>0\).
