Mathematischer Beweis, dass die exp(x) nie null wird?

Question

wie sieht der mathematische beweis aus, dass die exp(x) nie Null wird oder dass exp(x)<0 zu einem Wederspruch führt...

Answer 1

Abhängig von der verwendeten Definition der Exponentialfunktion kommt man auf verschiedene Beweise. Ich gebe mal ein paar Beispiele:

1. $\exp(x):=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n$.
Sei $x\in\mathbb{R}$ beliebig. Es reicht zu zeigen, dass $1+\frac{x}{n} > 0$ für genügend große $n$. Dies gilt insbesondere dann, wenn diese Folge gegen $1$ konvergiert. Sei $\varepsilon > 0$, dann gilt für jede natürliche Zahl $n > \frac{x}{\varepsilon}$ gerade $| \frac{x}{n} | < | x\frac{\varepsilon}{x} | = \varepsilon$ und damit folgt die gewünschte Aussage.

2. $\exp(x):=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$.
Der Konvergenzradius der Reihe ist unendlich, die Reihe konvergiert stets absolut. Es gilt daher aufgrund der Cauchy-Produktformel und dem binomischen Lehrsatz für alle $x\in\mathbb{R}$
$$\exp(x)\exp(-x) = \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \right) \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k (-x)^{n-k}}{(n-k)!k!} \right)$$
$$= \sum_{n=0}^\infty \left( x^n \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{n-k}}{(n-k)!k!} \right) \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{n!} \left( \underset{=(x-x)^n}{\sum_{k=0}^\infty \binom{n}{k} x^k (-x)^{n-k}} \right) \right) = \exp(x-x) = \exp(0) = 1.$$
Daraus folgt insbesondere $\exp(x) \neq 0$. Nehme nun an, dass es ein $x\in\mathbb{R}$ gibt mit $\exp(x) < 0$. Dann gilt wegen $\exp(x)\exp(-x)=1$ auch $\exp(-x) < 0$, aber entweder $x$ oder $-x$ ist nichtnegativ, o.B.d.A. sei $-x$ nichtnegativ. In diesem Fall ist aber jeder Summand der Exponentialreihe nichtnegativ und die gesamte Reihe positiv. Also muss die Annahme, dass es ein $x$ mit $\exp(x)<0$ existiert, falsch sein.

3. $\exp$ ist die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems $x'(t) = x(t),~x(0)=1$.
Wenn man die Funktion so definiert geht der Beweis wie folgt: Wegen $x(0)=1$ ist $x(t)\neq 0$ für alle $t\in \mathbb{R}$ denn andernfalls wäre aufgrund der Eindeutigkeit der Lösung der DGL $x(t)\equiv 0$, aber diese Funktion löst das Anfangswertproblem nicht. Nehme nun an, es gebe ein $t_0$ mit $x(t_0) < 0$. Da $x$ differenzierbar ist, ist $x$ stetig und da zusätzlich $x(0)=1$ gibt es ein $\xi$ zwischen $0$ und $t_0$, sodass $x(\xi) = 0$, aber dies ist nicht möglich wie wir gerade gesehen haben. Also gilt $\exp(t)=x(t)>0$.

Comments

Hallo LC,

danke für deine Antwort, aber kannst Du mir nochmal etwas ausführlicher (wobei es schon ausführlich genug ist) die einzelnen Rechenschritte erklären mit dem Summenzeichen? und woher kommt eigenlich exp(-x)??

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Im zweiten Beweis wird zunächst $\exp(x)\exp(-x)=1$ gezeigt, um dann die Annahme $\exp(x)<0$ zum Widerspruch zu führen. $exp(x)\exp(-x)=1$ ist äquivalent zur Aussage $\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}$ bzw. in der am meisten verbreiteten Schreibweise $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$.

Im ersten Schritt der Umformung wird die darüber stehende Definition von $\exp$ für $\exp(x)$ bzw. $\exp(-x)$ eingesetzt. So erhält man diese zwei Summen. Im nächsten Schritt wird die Cauchy-Produktformel genutzt (dies geht, da die Reihen absolut konvergieren). Diese Formel findest du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

In diesem Fall ist $a_n:=\frac{x^n}{n!},~b_n:=\frac{(-x)^n}{n!}$ und dementsprechend

$$c_n:=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k (-x)^{n-k}}{k!(n-k)!} .$$

Der nächste Umformungsschritt ist überflüssig, in dem danach wird in der inneren Summe mit $1=\frac{n!}{n!}$ multipliziert, das $n!$ im Nenner wird aus der inneren Summe rausgezogen, durch das verbleibende $n!$ im Zähler erhält man in der inneren Summe $\frac{n!}{(n-k)!k!} = \binom{n}{k}$ als Faktor. Aufgrund des binomischen Lehrsatzes ( https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz ) ist die innere Summe gleich $(x-x)^n$. Dadurch hat man dann

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-x)^n}{n!} = \exp(x-x) .$$

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Hallo nochmal LC;

alles super und  verständlich erklärt, aber eine Frage. Stimmt mein Gedanke so:

hier steht doch am Ende exp(x-x) ger $$\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac { (x-x) }{ n! }=exp(x-x)$$ das kommt doch von -x, oder?

also die exp(x) reihe sieht doch normalerweise so aus: ∑(n=0 bis ∞) xⁿ/n! und da jetzt aber noch exp(-x)  da ist, wird sie zur ∑(n=0 bis ∞) (x-x)ⁿ/n! = exp(x-x)

wenn mein Gedanke so stimmt, habe ich noch eine frage... wieso ergibt exp(x-x)=exp(0)=1

also exp(x-x)=exp(0) ergibt doch, weil x-x hebt sich doch weg und es bleibt 0 oder? deshalb exp(0)??

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Woher das $\exp(x-x)$ kommt siehst du an den Umformungen. Da $x-x=0$ ist natürlich $\exp(x-x)=\exp(0$ und wenn du in die Reihe $x=0$ einsetzt, kriegst du $1$ raus.

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jap, danke :) (Nur zu info ich bin in der 12. Klasse und noch kein Student, also tut mir leid, wenn ich mal so blöde fragen gestellt habe^^)

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Kleine Anmerkung: Wobei man hier die Konvention $0^0 = 1$ verwendet. :)

Answer 2

1) $e^x$ wird nie null: $1=e^0=e^{x-x}=e^x\cdot e^{-x}$

2) $e^x$ ist immer positiv: $e^x=(e^{x/2})^2\ge0$

Verwendet wird jeweils $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$. Von nix kommt nix.

Answer 3

kerle ihr seid alle Umstandskrämer. Unser Prof ging aus von der ===> Funktionalgleichung



     

exp  (  x  +  y  )  =  exp  (  x  )  exp  (  y  )     (  1  )

Beweis durch Widerspruch; sei x0 eine Nullstelle der e-Funktion. 

(V)  x  (E)  y  =  y  (  x  )  |  x  =  x0  +  y      (  2  )

(  2  ) eingesetzt in ( 1 ) gibt

exp  (  x  )  =  exp  (  x0  )  exp  (  y  )  =  0     (  3  )

D.h. du hast bewiesen, dass die e-Funktion identisch verschwindet.

Comments

Damit ist sogar bewiesen, dass jede Lösung der Funktionalgleichung $\phi(x+y)=\phi(x)\phi(y)$ mit $\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, die eine Nullstelle hat, identisch verschwindet. Aber mit solche Sachen kann man Integraldx wahrscheinlich nicht kommen.

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Wenn jemand schon Integraldx heißt.

Von ===> Curd Lasswitz stammt  " Prost "  , eine Parodie auf Goethes Faust. Prost ist ein Bier trinkender Mathestudent, der Existenz und Stetigkeit der Lösung einer DGL zu zeigen hat. Während Prost seinen Bierrausch aus schläft, löst Mephisto für ihn die Gleichung und fordert dafür seine unsterbliche Seele. Es tritt auch ein " Narr " auf, der " Famulus namens dx "

Answer 4

Satz vom Nullprodukt. Wenn ein Produkt Null ist muss ein Faktor Null sein. Bei negativen Exponenten ergibt sich der Kehrwert von der Potenz mit der Gegenzahl im Exponenten. Ein Bruch wird aber nur Null wenn der Zähler Null wird. Das ist auch nie der Fall.

e^x.

Besteht ja aus Faktoren von e oder auch aus wurzeln. Kein Faktor wird dabei aber 0.

z.b.

e⁵ = e * e * e * e * e

e^-5 = 1 / (e * e * e * e * e)

Comments

Es wurde nach einem Beweis gefragt...

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e^x = 0

dann müsste gelten

(e^x)^1/x = e = 0^1/x

Kann jetzt aber 0^irgendwas gleich e sein?