Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Punkt P (0;4) einen Wendepunkt hat und an der Stelle x=6 die x-Achse berührt.
1:
f(x)= x^3 + bx^2 + cx + d
f'(x)= 3x^2 + 2bx + c
f''(x)= 6x + 2b
2:
-Wendepukt bei (0;4)
-Berührung mit x-Achse bei x=6
3: Umsetzung der Eigenschaften in Gleichung
(hier komm ich jetzt nicht mehr weiter..)
eig setzt man ja den Wendepunkt in f(x) ein
da mein x-Wert aber 0 ist verwirrt mich das etwas
also bedeutet dies im Endeffekt dass d=4 ist!?
und jetzt hab ich noch eine andere frage: wenn ich x=6 in f(x) einsetzte, dann krieg ich 216a + 36b + 6c + d raus
und ich frage mich jetzt was ich machen muss um die variablen a,b,c und d rauszubekommen ..
Ja, und wegen \(f''(0)=0\) folgt auch noch \(b=0\). Beides kannst Du sofort in die beiden anderen Bedingungen einarbeiten.
f(0) = 4 --> d = 4
f''(0) = 0 --> 2·b = 0
f(6) = 0 --> 216·a + 36·b + 6·c + d = 0
f'(6) = 0 --> 108·a + 12·b + c = 0
Löse das LGS und erhalte: a = 1/108 ∧ b = 0 ∧ c = -1 ∧ d = 4
Kontrolliere die Lösung!
könntest du mir bitte nochmal erklären, wie du jetzt genau a,b,c und d rausbekommen hast?
Nach der ersten und 2 Gleichung kannst du schon d = 4 und b = 0 einsetzen
216·a + 36·0 + 6·c + 4 = 0 --> 216·a + 6·c = -4
108·a + 12·0 + c = 0 --> 108·a + c = 0
Eventuell jetzt 6*II - I
432·a = 4 --> a = 1/108
108·(1/108) + c = 0 --> c = -1
Damit hat man dann schon alle 4 Variablen gefunden.
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