Diagonalisierbarkeit einer Matrix

Question

Ich übe grade die Diagonalisierung von Matrizen und bin auf folgendes Beispiel gestoßen:

Ist folgende Matrix diagonalisierbar?
$$A=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-\sqrt{3}} & {0} \\ {\sqrt{3}} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$$

Es wird angegeben, dass diese Matrix nicht diagonalisierbar ist.

Wenn ich nun aber die Eigenwerte berechne, erhalte ich 1, i√2, -i√2 . Damit sind die Eigenwerte paarweise verschieden (algV=geoV). Die Eigenwerte liegen jedoch nicht mehr in ℝ.

Müsste die Matrix dann nicht eigentlich über ℂ (aber nicht über ℝ) diagonalisierbar sein? Dabei entsprechen die Elemente der Hauptdiagonalen der Diagonalmatrix den einzelnen Eigenwerten.

Answer 1

Deine Vermutung ist genau richtig.

Die Matrix ist diagonalisierbar über C und nicht diagbar über R. Ich glaube sogar jede Matrix ist diagonalisierbar über C.

Comments

Nein, z.B. ist $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ über $\mathbb C$ nicht diagonalisierbar.

---

Ah okay, dann habe ich nichts gesagt. Gibt es es denn da irgendeine Bedingung die erfüllt sein muss oder so? Habe , meine ich, irgendwo mal was in die Richtung gelesen.

---

Das charakteristische Polynom muss in Linearfakoren zerfallen (das ist über $\mathbb C$ immer erfüllt) und für jeden Eigenwert muss die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit sein. Die zweite Bedingung ist bei meiner Matrix nicht erfüllt: Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 0 ist zwei, die geometrische Vielfachheit eins.