Warum teilt man ein Polynom durch einen Linearfaktor?

Question

mein problem beinhaltet nicht die Rechnerei an sich, viel eher möchte ich wissen, warum man bei der Polynomdivision durch (x-x0) teilt. Na klar damit man die "gradzahl" (^n)" reduziert aber ich möchte das rechentechnisch verstehen. Ich verstehe das so:

Das Polynom wird um einen Linearfaktor (x-x0) , dessen Lösungsmenge eine Nullstelle des polynoms ist,

gekürzt, wodurch die bereits bekannte nullstelle nicht mehr zur lösungsmenge gehört, was gleichzetig eine "gradminderung" bewirkt?

Hab ich es richtig verstanden? o.O

danke im voraus

Answer 1

Genau. Ein Polynom mit den Nullstellen 1, 2 und 3 kann ich schreiben als

(x - 1) * (x - 2) * (x - 3) = x^3 - 6·x^2 + 11·x - 6

Du kannst jetzt wenn du die allgemeine Form hast durch einen Linearfaktor eilen und somit den Restterm bekommen.

(x - 1) * (x - 2) = (x^3 - 6·x^2 + 11·x - 6) : (x - 3)

Probier das ruhig mal aus.

Comments

Schöne Frage. Das siehst du im Video G27-5 zu den Kubischen Gleichungen dargestellt  mit:

Lies auch hier, Polynomdivision erklärt: https://www.matheretter.de/wiki/kubische-gleichungen#polydiv

Answer 2

Genau, das hast du ganz schön erklärt.

Allerdings ist

"wodurch die bereits bekannte nullstelle nicht mehr zur lösungsmenge gehört,"

nicht ganz richtig. Denn es kann eine Nullstelle mehrfach vorkommen.

Answer 3

Bei der Polynomdivision f(x) / g(x) = q(x) + r(x) / g(x) <=> f(x) = q(x) g(x) + r(x)  gilt: Der Grad von r(x) (Rest) ist kleiner als der Grad von g(x) (Divisor). Ist nun g(x) ein Linearfaktor (x - a), ein Linearfaktor hat Grad 1, muss der Rest Grad < 1 haben, also eine Konstante sein (kein x mehr). Ist nun a eine Nullstelle des Polynoms f(x) so gilt: 0 = f(a) = q(a) (a - a) + r = r also r ist 0 d.h. Alle Linearfaktoren der Form (x - a_j) wobei a_j eine Nullstelle ist, teilen das Polynom ohne Rest.

Wenn wir also eine Nullstelle a₁ <=> f(a₁) = 0 haben können wir das Polynom f(x) durch (x - a₁) ohne Rest dividieren und der Quotient q₂(x) ist wieder ein Polynom, allerdings mit einem geringerem Grad: f(x) = (x - a₁) * q₂(x). Wir können nun weiters eine Nullstelle von q₂(x) suchen. Sei nun a₂ eine Nullstelle von q₂(x) so gilt f(a₂) = (a₂ - a₁) q₂(a₂) = 0 also ist a₂ auch eine Nullstelle von f(x). Solange wir Nullstellen der Quotienten q_j(x) mit immer kleineren Grad finden, können wir fortsetzen: f(x) = (x - a₁) (x - a₂) ... (x - a_k) q_k+1(x). Bestenfalls finden wir eine komplette Faktorisierung von f(x). In ℂ finden wir übrigens immer genau Grad(f(x)) = n Nullstellen , d.h. f(x) zerfällt vollständig in Linearfaktoren,  wobei allerdings nicht alle a_j verschieden sein müssen: f(x) = (x - a₁) (x - a₂) ... (x - a_n) b (b ist der Leitkoeffizient von f(x)).