Definitionsmenge von f^-1 : x → - x^3

Question

komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Gegeben sei die Funktion f : x = ³√-x  

x ist Element aller negativen Rationaler Zahlen einschließlich 0.

Geben Sie bitte die Umkehrfunktion an.

Beachten Sie, dass sich auch die Definitionsmenge ändern kann bzw. muss.

f : x → ³√-x 

Umkehrfunktion: (?)

f ^-1 : x → - x³

Verstehe nicht warum sich die Definitionsmenge ändert. Oder ist meine Umkehrfunktion fehlerhaft ?

Comments

Da war die Rede von "rational".

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Tschuldigung, habe mich verschrieben. Richtig heißt es:

x ist Element aller negativen reellen Zahlen einschließlich 0.

Mir ist leider immer noch nicht klar wieso die Definitionsmenge sich verändert.

Setze ich bei f für x eine beliebige negative Zahl ein, wird der Radikant durch das - vor x positiv.

Die Wertemenge ist also positiv, die Definitionsmenge negativ.

Das selbe doch auch bei f^-1 ?

Danke für die schnellen Antworten.

Answer 1

Die Wertemenge von f besteht aus positiven Zahlen und 0.

zum Beispiel ist f ( -8) = 2

f ( -2) = 3.Wurzel(2)  Das ist aber keine rationale Zahl

also könnte man denken :   alle positiven reellen Zahlen kommen raus,

dem ist aber auch nicht so; denn so was wie pi ist nicht die 3. Wurzel einer

rationalen Zahl.  Du brauchst aber die Wertemenge von f, damit du die

Definitionsmenge der Umkehrfunktion hast. Geht vielleicht so:

W = { x aus IR |  Es gibt y aus Q mit  x = y ^1/3  }

Answer 2

f:   ℝ₀^- -> ℝ₀⁺    mit   y = ³√(-x)

Variablen vertauschen:

x = ³√(-y)   |³

^{nach  y auflösen:}

x³ = -y

y = -x³

f^-1:  ℝ₀⁺ -> ℝ₀^-  f^-1(x)  = - x³  [ Definitionsmenge und Wertemenge sind vertauscht,

denn f^-1(f(x)) = x   in f (x) wird also in f^-1 eingesetzt]

Answer 3

 f : x = ³√-x      Definitionsmenge R₀^- -> R₀⁺ 

Um Umkehrfunktion zu finden tauscht man entweder vorher die Variablen x und y oder am Schluss ist egal kommt auf das gleiche raus.

x = ³√(-y)  (=-y ^ 1/3)

x³ = -y

y = -x³   Definitionsmenge R₀⁺ -> R₀^-

Bei der Umkehrfunktion wird die Definitonsmenge von der Anfangsfunktion zur Zielmenge und die Zielmenge umgekehrt zus Definitionsmenge.

Hier kannst du also alle positiven Zahlen einsetzten und dann kommt als ZielmengeR₀^- raus

Comments

hieß doch: rationale Zahlen

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Stimmt danke!

Dann ersetzt man einfach die R mit Q