Grenzwerte H-Methode Wozu dient diese?

Question

Ich war diese Woche leider krank und wir behandeln im Unterricht zur Zeit die Grenzwerte.

So ich hab mir das heute angeschaut nur komm ich nicht darauf was die H-Methode mit Grenzwerten zu tuen haben soll aber vor allem wann ich diese Verwende.

Ich hab ein Video gesehen das wenn im Nenner 0 herauskommt das man diese dann verwendet oder als Ableitung. Nur das wenn ich einen Term habe wie F(x) = x+1/x+1 und dort nun den Grenzwert berechnen soll kann ich das doch auch ohne H-Methode machen, da ich ja sogut wie in jeder Gleichung dafür sorgen kann das der Nenner 0 wird. Das entzieht sich irgendwie dem was ich jetzt mitbekommen habe. 

Wäre nett wenn mir jemand erklärt wann diese Methode verwendet wird und was man damit überhaupt berechnet.

Answer 1

Sei $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$. Die Funktion ist bei $x=3$ nicht definiert. Allerdings kann die Funktion mit einer der binomischen Formeln umgeschrieben werden zu $f(x)=\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}$. Jetzt kann man kürzen und bekommt dadurch eine neue Funktion $g(x) = x+3$. Die Funktionen $f$ und $g$ stimmen an allen Stellen überein, außer dort, wo $f$ nicht definiert ist. Deshalb gilt $\lim_{x\to3}f(x) = \lim_{x\to3}g(x) = g(3) = 6$.

Es sei $f$ eine Funktion und $x_0$ im Definitionsbereich von $f$. Die Funktion $s(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ gibt die Steigung der Sekante zwischen dem Punkt $P(x_0|f(x_0))$ und dem Punkt $Q(x|f(x))$ an. Den Ausdruck $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ nennt man Differenzenquotient von $f$ an der Stelle $x_0$. Die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$ ist definiert als $\lim_{x\to x_0}s(x)$. Kurz gesagt: die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Das $x$, dass in $s$ verwendet wird, kann als $x_0+h$ geschrieben werden. Es ist $s(x_0+h) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. Diese Form des Differenzenquotienten ist für praktische Rechnungen oft handlicher. Die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$ ist dann $\lim_{h\to 0}s(x_0+h)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Mit dieser h-Methode kann die Ableitung berechnet werden. Es sei $f(x)=x^3$. Dann ist

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \\ \lim_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{h} = \\ \lim_{h\to 0}\frac{(x_0^3+3x_0^2h+3x_0h^2+h^3)-x_0^3}{h} = \\ \lim_{h\to 0}\frac{3x_0^2h+3x_0h^2+h^3}{h} = \\ \lim_{h\to 0}\frac{(3x_0^2+3x_0h+h^2)\cdot h}{h} = \\ \lim_{h\to 0}3x_0^2+3x_0h+h^2$

Jetzt kann für $h$ eine Null eingesetzt werden und man bekommt $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = 3x_0^2$.

Answer 2

Hei

Ich versteh was du meinst. Also grundsätzlich musst du bei einer Funktion den Grenzwert ausrechnen bei einem x-Wert und dort idt meistens eine Definitionslücke, dh im Nenner des Bruches steht z.b x-1. Also darfst du 1 nicht einsetzten und möchtest jetzt aber wissen, was der Grenzwert ist wen x gegen 1 geht von rechts und von links, damit du abschätzen kannst, wie der Graph der Funktion aussieht.

lim von links gegen 1 ist dann gleich wie lim von h gegen 0 und du setzt anstatt x bei der Funktion 1-h. Jetzt wenn h gegen 0 geht, ist es wieder die gleiche Funktion.

Comments

http://www.free-education-resources.com/www.mathematik.net//grenzw-f…

Hier hast du noch ein Beispiel dazu.