Substitutionsregel. (cos (x)) ³ * (-sin (x))

Question

Hallo wir sollen diese Aufgabe mittels der substitionsregel integrieren  ... Habe mit dieser Regel aber noch so meine Probleme wäre super wenn mir jemand diese Aufgabe ausführlich vorrechnen könnte :)

Answer 1

Schau es Dir in Ruhe an

Comments

und dann die Grenzen noch einsetzen

Du  kannst auch als 2. Weg die Grenzen transformierten und z^4/4 einsetzen , dann brauchst du nicht resubstituieren.

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z= cos(x)

die Grenzen eingesetzt ergibt:

z_1=0

z_2=1

in z^4/4 eingesetzt ergibt: -1/4

Answer 2

∫ ....    =   ∫ (cos(0) bis cos(π/2)  z³ dz    [ g(x) = cos(x) = z]

Answer 3

Ich habe dir dazu ein kleines Video gemacht:

Answer 4

\( g(x) \) und \( g'(x) \) hast du richtig identifiziert. \( f(x) \) fehlt noch. In deiner Aufgabe ist \( f(x)=x^3 \). Jetzt eigentlich nur noch einsetzen:

\(\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{3}\cdot(-\sin x)dx & =\int_{\cos0}^{\cos\frac{\pi}{2}}z^{3}dz\\ & =\left[\frac{1}{4}z^{4}\right]_{\cos0}^{\cos\frac{\pi}{2}}\\ & =\frac{1}{4}\left(\cos\frac{\pi}{2}\right)^{4}-\frac{1}{4}\left(\cos0\right)^{4}\\ & =\frac{1}{4}\cdot0^{4}-\frac{1}{4}1^{4}\\ & =-\frac{1}{4} \end{aligned}\)

Und erinnere dich an die Kettenregel; daher kommt die Substiturionsregel.