Rechengrundsätze: Potenzieren: Negative und gebrochene Hochzahl

Question

Um die Df einer Funktion zu bestimmen, muss man ja erstmal die Grundsätze kennen. Also habe ich mir die durchgelesen, aber ich verstehe den Teil mit dem Potenzieren nicht (s. Bild). Wisst ihr vielleicht was damit gemeint ist?

Answer 1

Der Ausdruck \( r^s \) bedeutet:

1. \( \underbrace{r\cdot r\cdot\ldots\cdot r}_{s\text{ Faktoren}} \) falls \( s \) eine natürliche Zahl ist (also 1, 2, 3 etc.)
2. \( \frac{1}{r^{-s}} \) falls \( s \) eine negative ganze Zahl ist (also -1, -2, -3 etc.)
3. \( \sqrt[z]{r^{n}} \) falls \( s \) eine rationale Zahl \( \frac{z}{n} \) mit ganzem \( z \) und natürlichem \( n \) ist, und \( r \) eine nicht-negative reelle Zahl ist.

Punkt 1 kann man als Ursprung der Potenzschreibweise betrachten. Aus dieser Festlegung der Potenzschreibweise ergeben sich Gesetze, wie mit Potenzen gerechnet werden kann (sog. Potenzgesetze, z.B. \( 3^5\cdot 3^6=3^{5+6}=3^{11} \) oder \( 2^3\cdot 5^3=(2\cdot 5)^3={10}^3 \)).

Man hat sich nun gefragt, ob man Exponenten zulassen soll, die keine natürlichen Zahlen sind. Die ursprüngliche Festlegung, dass der Exponent angibt, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird, ist dann nicht mehr sinnvoll. Was soll es denn bitteschön bedeuten, dass eine Zahl -7 mal mit sich selbst multipliziert wird?

Deshalb ist man einen anderen Weg gegangen: man verlangt, dass die Potenzgesetze für negative ganze Exponenten gelten müssen und sucht auf dieser Basis nach einer passenden Definition für \( r^s \) für negative ganze Exponenten. Dadurch gelangt man zu Punkt 2.

Mit der gleichen Überlegung gelangt man auch zu Punkt 3. Allerdings muss man dazu die Basis einschränken. Problem ist nämlich

\( -2 = \sqrt[3]{(-8)^1} =  (-8)^\frac{1}{3} = (-8)^\frac{2}{6}= \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2 \)

Comments

Korrektur: \( r^{\frac{z}{n}} \) ist natürlich \( \sqrt[n]{r^z} \), nicht wie in der Antwort behauptet \( \sqrt[z]{r^n} \).

Answer 2

potenzieren ist zunächst mal eine Abkürzung für ein Produkt mit mehreren

gleichen Faktoren. Etwa  x^5 = x*x*x*x*x  also 5 Stück.

Dafür kann man Gesetze beweisen, etwa

x^5 * x^4 = x^9   oder auch   x^12 / x^4 = x^8  . Dabei ist die 8 ja gerade 12-4.

Man muss also nur 1. Exponent - 2. Exponent rechnen.

wenn man das aber etwa macht x^3 / x^7 gäbe das rein fromal x ^-4    

Das kann man wirklich so schreiben, wenn man sagt x^-4 = 1/x^4 .

So lässt sich also auch für negative Exponenten die Sache definieren.

Man kann es sogar auf Bruchzahlen im Exponenten ausdehnen, dann bedeutet

x ^3/5 zum Beispiel die 5. Wurzel aus x^3 .   Und dann sogar für beliebige

reelle Zahlen als Exponent.