Zeige, dass Menge U nicht im Bildbereich von f liegen kann

Question

Liebe Community! 

Ich bitte euch um Hilfestellung bei folgender Aufgabe bzw. um Kontrolle bei meiner Antwort.

Angabe: Sei f:X→Ρ(X) eine Abbildung, die jedes x∈X eine Teilmenge f(x) ⊆ X zuordnet.

Zeige, dass die Menge U = {x∈X Ι x∉f(x) } nicht im Bilderreich von f liegen kann.

Antwort:

Wir wissen die Potenzmenge Ρ(X) beinhaltet die Menge aller Teilmengen der Menge X (also alle f(x)), die leere Menge und die Menge X selbst.

f(x) bildet somit die einzelnen Mengen aller Teilmengen von X, wobei die Teilmengen aus Elementen x von X bestehen.

Da für die Menge U gilt: x∉f(x) gibt es keine Abbildung, da ja jedes f(x) mind. ein x als Element enthält. Bei U darf dies aber nicht sein, also ist die Abbildung von U die leere Menge.

Stimmt das?

Comments

Hi Jamma, das ist eine typische Aufgabe für einen Widerspruchsbeweis wie mathef unten in seiner Anwort vorgeführt hat. Ich denke es liegt in deinem Interesse ein Feedback zu deinem Lösungsversuch zu erhalten:

Wir wissen die Potenzmenge Ρ(X) beinhaltet die Menge aller Teilmengen der Menge X (also alle f(x)), die leere Menge und die Menge X selbst.

# Nein, die Potenzmenge von X ist die Menge aller Teilmengen von X. Sie beinhaltet sie nicht. Das ist ein großer Unterschied.

f(x) bildet somit die einzelnen Mengen aller Teilmengen von X, wobei die Teilmengen aus Elementen x von X bestehen.

# Hier ist es schwer zu verstehen was du sagen möchtest. Einzelne Mengen aller Teilmengen? f(x) bildet?

Da für die Menge U gilt: x∉f(x) gibt es keine Abbildung, da ja jedes f(x) mind. ein x als Element enthält

# Das stimmt nicht, erstens ist die Folgerung nicht logisch (begründung?) zweitens kann f(x) ja auch die leere Menge sein.

Bei U darf dies aber nicht sein

# Was darf bei U nicht sein? Ich denke du hast da irgendwas durcheinander gebracht, vielleicht meinst du aber auch das richtige. Ich kann es nicht sagen.

, also ist die Abbildung von U die leere Menge.

# Nein, das folgt damit auch nicht. Außerdem soll auf U abgebildet werden, wenn überhaupt.

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Danke für dein Feedback ;)

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warum muss ich dennoch bei dieser Fragestellung eine Fallunterscheidung machen? Wenn ich es mir so durchlese verstehe ich es schon aber den Beweis durch Widerspruch verstehe ich nur dann wenn ich die Angabe ein Quantoren geschrieben zusammengefasst vor mir habe und das hab ich da nicht.

Hat irgendwer die Geduld mir die Antwort  Schritt für Schritt genauer zu erklären? 

Answer 1

Ich meine, du hast das noch etwas wirr notiert und die

Aussage : also ist die Abbildung von U die leere Menge.

ist falsch.

Abgebildet werden doch die Elemente von X auf die Teilmengen von x.

Gäbe es nun ein x aus X mit f(x) = U, dann sind zwei Fälle denkbar:

1. Fall   x aus U. Dann wäre x ein Element, das in der Teilmenge , auf die es

abegbildet ist enthalten ist.   Also wäre x aus f(x), aber das widerspricht der Def. von U.

2. Fall x nicht aus U , dann wäre x ein Element , das NICHT in der Teilmenge , auf die

es abgebildet wird, enthalten ist., also wäre x aus U. Widerspruch.

Da sowohl x aus U als auch x nicht aus U einen Widerspruch ergeben, gibt es

kein solches x, also U nicht in f(X).

Erinnert an den Dorfbarbier, der die Anweisung erhält, genau alle die aus

dem Dorf zu rasieren , die sich nicht selbst rasieren.  Was er auch macht

sich rasieren oder sich nicht rasieren

widerspricht immer der Anweisung.