Kleine Beweisskizze:
Es sei \(s_n:=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \). Man definiere \(a_n:=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\). Weiter sei \(e^x:=\lim_{n\rightarrow \infty} s_n\). Nun ist zu zeigen, dass \(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = e^x \), d.h. die Grenzwerte von \(a_n, s_n\) stimmen überein. Im folgenden ist \(e^x\) immer im Sinne der Definition über eine Potenzreihe gemeint!
Idee: Da allgemein für eine beliebige Folge \(b_n\) die Ungleichung \(\liminf b_n \leq \limsup b_n\) gilt, folgt aus \(\limsup b_n \leq \liminf b_n \), dass der Limes existiert. Es genügt daher, folgendes zu zeigen: \( \limsup a_n \leq e^x \leq \liminf a_n\), denn so wird gleichzeitig die Existenz des Grenzwertes gezeigt, als auch dessen Wert bestimmt (\(e^x\)).
Wende den binomischen Lehrsatz auf \(a_n\) an. Durch Umformen erhält man dann
$$ a_n = 1 + x + \frac{x^2}{2} \left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{x^3}{3!} \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) + \dots + \frac{x^n}{n!} \left(1-\frac{1}{n}\right) \dots \left(1-\frac{n-1}{n}\right) \leq s_n. $$
Also \( \limsup a_n \leq \limsup s_n = \lim s_n = e^x\). Bleibt zu zeigen: \(e^x \leq \liminf a_n\).
Sei dazu nun nun \(m\in\mathbb{N}\) mit \(m \leq n\). Dann gilt
$$ 1 + x + \frac{x^2}{2} \left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{x^3}{3!} \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) + \dots + \frac{x^m}{m!} \left(1-\frac{1}{n}\right) \dots \left(1-\frac{m-1}{n}\right) \leq a_n.$$
Lasse nun \(n\rightarrow \infty\) gehen, dann erhält man \(s_m \leq \liminf a_n\). Jetzt liefert \(m\rightarrow \infty\) das gewünschte Ergebnis.
