0 Daumen
4,2k Aufrufe
Zeigen Sie, dass es in einem Körper keine Ideale außer {0} und K gibt.
Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort
Sei  K  ein Körper und  I ⊆ K  ein Ideal.
Nach Definition gilt  a·x ∈ I  für alle  a ∈ I  und  x ∈ K.
Sei  a ∈ I  mit  a ≠ 0. Da  K  ein Körper ist, existiert ein  k ∈ K  mit  a·k = 1, d.h. 1 ∈ I  und damit  1·x ∈ I  für alle  x ∈ K.
Daraus folgt die Behauptung.
Avatar von
+1 Daumen

Hier da hab ich was ganz geiles für dich. Zu zeigen: Es gibt also neben dem Nullideal nur noch das Einsideal.

Nun bilden die von Null verschiedenen Elemente aber eine multiplikative Gruppe G  Sagen wir, a liegt in G . Wir werden zeigen: Zu jedem b € G gibt es x € G mit a x = b . Dann sind wir fertig.

Schau nochmal in deinen Gruppenaxiomen nach. Die alternative Definition einer Gruppe; ihr solltet eben doch bissele besser in der Vorlesung Acht passen:


1) G ist nicht leer.

2) G ist assoziativ.

3) Zu jedem Paar a , b sind die Unbekannten ( 1; 2 ) lösbar:


a x = b   ( 1 )

y a = b   ( 2 )


Bitte beachten, was Axiomne sind. Es wird ( vorerst ) nicht behauptet, dass die Gleichungen ( 1;2 ) eindeutig lösbar seien. Oder dass es eine besondere algebraische Umformung gibt, diese Gleichungen nach x bzw. y umzustellen.

Es wird nichts weiter behauptet als die Existenz dieser x und y .

Avatar von 1,2 k

Es gilt aber auch die Umkehrung. Wenn eine Algebra nur zwei Ideale besitzt, dann ist sie ein Körper.

diese voraussetzung gibt dir ja nicht mal ein Einselement; du tust also gut daran, in diesem Fall tatsächlich auf meine beiden alternativen Gruppenaxiome zurück zu greifen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community