+1 Daumen
583 Aufrufe

ich verstehe leider nicht viel von Idealen und bräuchte hilfe bei dieser Aufgabe :

Sei K ein Körper und n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass die einzigen zweiseitigen Ideale von Mn,n (K) die
trivialen Ideale Mn,n (K)  und {0} sind.

Danke :)

von

1 Antwort

+1 Daumen

Dass die trivialen Ideale  zweiseitig sind, ist wohl klar.

Sei also J ein Ideal , das nicht nur die Nullmatrix enthält, also

enthält J eine Matrix A, die an mindestens einer Stelle ein x ungleich 0

enthält. Sei nun das x in der i-ten Zeile in der k-ten Spalte.

Mache dir nun eine Matrix B, die nur Nullen hat aber  in der k-ten Zeile

irgendwo eine 1.  Probiere das mal mit unterschiedlichen Stellen für die 1.

Dann hat B*A das Element immer in der entsprechenden Spalte.

Du kannst also durch geeignete Multiplikation das x auf jede gewünschte Zeile

im Ergebnis schieben.

Wenn du umgekehrt eine Matrix C nimmst, die nur Nullen hat und in der i-ten Zeile

eine 1, dann kommt  bei A*C das x auf jede gewünschte Zeile.

Wenn du also genügend viele Multiplikationen machst, kannst du eine

Matrix mit der ganzen Diagonale voll x erzeugen. Da x ungleich Null ist, kannst du

noch mit 1/k multiplizieren (Das Ergebnis ist dann natürlich auch in dem Ideal.)

und hast so gezeigt, dass die Einheitsmatrix in dem Ideal ist, und damit das

Ideal ganz Mn,n (K)  umfasst.



von 229 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community