Untersuche die Funktion in Abhängigkeit von α auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

Question

Sei \( \alpha \in R( \) reelle Zahlen) ein Parameter

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{2 x+\alpha} & {: x \geq 0} \\ {-x^{2}} & {: x<0}\end{array}\right. \)

Untersuche die Funktion in Abhängigkeit von α auf Injektivität, Surjektivität und ggf. auf Bijektivität.

Gebe im Fall der Bijektivität die Umkehrfunktion f^-1 an,

Answer 1

Für x<0 ergeben sich alle negativen reellen Zahlen als Funktionswerte.

Damit sich bei den Zahlen ≥ 0 keine davon wiederholt muss alpha ≥ 0 sein,

dann ist die Funktion injektiv.

Damit wirklich alle reellen Zahlen als Funktionswerte vorkommen, also f

surjektiv ist, muss alpha = 0 sein.

Für alpha = 0 ist f also bijektiv und Umkehrfkt ist

g(x)    =  x/2    für   x ≥ 0

               - wurzel ( -x ) für x <0

Comments

Dann war ich wohl mit meinen Überlegungen auf der richtigen Spur.
Aber die Umkehrfunktion verstehe ich leider noch nicht. Sind das jetzt zwei Funktionen?

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Die Bijektivität etc. habe ich dank dir verstanden. Die vorherige Nachricht brauchst du nicht mehr zu beachten, dies hat sich geklärt. Aber eine Frage bleibt dennoch: Warum wird aus -x²  die Umkehrfunktion : - Wurzel (-x) ? Ich komme nur auf -Wurzel (x). Danke Für die Antwort.

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für negatives x galt ja

y = -x^2   also war dann auch das y negativ.

Wenn du jetzt vertauschst

x = -y^2   und nach y auflösen willst hast du

-x = y^2   ( und da x negativ ist, macht das Sinn; denn -x ist dann ja positiv.

also y = wurzel(-x)  oder  x = - wurzel( -x )

Da aber etwas negatives rauskommen muss, ist das 2. richtig.