Buch S. 40 Nr 19 Dänische Flagge Flächeninhalt

Question

Der Flächeninhalt des weißen Kreuzes der dänischen Flagge beträgt ein Viertel der Gesamtfläche.
a) Wie breit wird der weiße Streifen bei einer Flaggengröße von 3m auf 5m?

b) Bei einer anderen dänischen Flagge mit dem selben Längenverhältnis ist der weiße Steifen 1m breit. Berechne die Maße.

Ich habe schon echt lang selbst probiert aber bekomme es leider nicht hin und würde mich über eine hilfreiche Antwort freuen. Lg :)

Comments

Welche Gleichungen hast du während des Probierens aufgestellt?

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Ich habe versucht irgendwie den Flächeninhalt der gesammten Fläche zu berechnen mit a*b. Dann hab ich davon ein Viertel abgezogen aber irgendwie komm ich nicht weiter ich denke auch mal das der Weg total falsch ist.

Answer 1

Stelle eine Gleichung auf. Dazu brauchst du eine Variable.

> Wie breit wird der weiße Streifen ...

Da haben wir schon unsere Variable. Ab jetzt bedeutet b "Breite des weißen Streifens"

> Flaggengröße von 3m auf 5m

Flächeninhalt ist dann, wie du schon ausgerechnet hast, 15 m². Ein viertel davon sind 15/4 m². Jetzt schauen wir uns die weißen Streifen an.

Einer ist 5 lang und (wie vorhin festgelegt) b breit. Flächeninhalt ist dann 5b.

Der andere ist 3 lang und (wie vorhin festgelegt) b breit. Flächeninhalt ist dann 3b.

Jetzt haben wir aber den Teil, wo sich die zwei Streifen schneiden doppelt gezählt. Dieser Teil ist b breit und b lang. Flächeninhalt ist dann b² und das müssen wir vom Flächeninhalt abziehen.

Die Gleichung lautet also 3b + 5b - b² = 15/4.

Comments

Und jetzt muss ich auf b auflösen? Wenn ich das mache steht dort 8b - b² = 15/4 nun weiß ich nicht weiter weil kann man denn einfach b² und 8b zusammenzählen?

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Um die Gleichung lösen zu können mußt du die quadratische
Ergänzung kennen oder die pq-Formel ?
Ist dir etwas bekannt ?

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Beides ist mir bekannt heißt aber das ich erstmal die 15/0 rüber bringen müsste um alles auf 0 zu haben oder? Ich bin in dem Thema noch nicht so ganz sicher. Was wäre in dem Fall p und was p? Bzw. wo setze  ich dort quadratische Ergänzung ein?

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3b + 5b - b² = 15/4.
-b^2 + 8b = 15/4   | * (-1)
b^2 - 8b = - 15 /4
b^2 - 8b + 4^2 = -15/4 + 16
( b - 4 )^2 = 49 / 4
b - 4 = ± 7 / 2

b =   7.5 m ( entfällt, sprengt die Größe der Flagge )
b =  0.5 m

Probe
b = 0.5 m
-(0.5)^2 + 8 * 0.5 = 15 / 4 = 3.75 m^2 wäre 1/4 der Flaggengröße

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> Und jetzt muss ich auf b auflösen?

Vergleiche mal:

• Wofür steht die Variable b im Sachzusammenhang?
• Was ist laut Aufgabenstellung gesucht?
  

> Wenn ich das mache steht dort 8b - b² = 15/4

Nein, wenn du das machst dann steht dort "b = [Irgendeinterm]" wobei [Irgendeinterm] irgend ein Term ist, in dem kein b vorkommt.

> kann man denn einfach b² und 8b zusammenzählen?

Verabschiede dich von dem Wort "zusammenzählen". Du darfst Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz anwenden.

> nun weiß ich nicht weiter

8b - b² = 15/4 ist schon mal richtig. Mal schauen, ob wir in dieser Gleichung herausfinden können, welchen Wert b haben muss, damit die Gleichung erfüllt ist.

Zunächst ordnen wir die Gleichung:

-b² + 8b = 15/4

Jetzt sorgen wird dafür, dass da nicht -b² steht, sondern b². Das machen wir indem wir die Gleichung mit -1 multiplizieren:

b² - 8b = -15/4

Dann ergänzen wir die Gleichung so, dass auf der linken Seite eine binomische Formel angewendet werden kann. Das geschieht durch +(8/2)².

b² - 8b + (8/2)² = -15/4 +(8/2)²        (*)

Nun kann man die linke Seite mit der zweiten binomischen Formel zusammenfassen.

(b - 4)² = 49/4       (**)

Bitte überzeuge dich jetzt davon, dass wenn du die linke Seite von (**) ausmultiplizierst, die linke Seite von (*) entsteht. Rechne auch nach, dass die rechte Seite von (*) das gleiche wie die rechte Seite von (**) ist.

Wenn du das getan hast, dann darfst du Wurzel ziehen:

b - 4 = ±7/2

Jetzt addierst du noch 4 und du kommst zu

b = 4 ± 7/2

also etwas ausführlicher

b = 4 + 7/2 = 15/2 oder b = 4 - 7/2 = 1/2.

Eine dieser Lösungen ist nicht auf den Sachzusammenhang übertragbar.

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Der Trick, den ich verwendet habe um die Gleichung (*) zu bekommen, nennt sich quadratische Ergänzung. Die quadratische Ergänzung wird ausschließlich  (ok, fast ausschließlich) dazu verwendet, im nächsten Schritt die binomische Formel anzuwenden und dann die Wurzel zu ziehen.

Answer 2

b) Bei einer anderen dänischen Flagge mit dem selben Längenverhältnis
ist der weiße Steifen 1m breit. Berechne die Maße.

b = 1
-b^2 + 8b = -1^2 + 8*1 = 7 m^2

F = 4 * 7 = 28 m^2

x = 5
y = 3 = 3/5 * x

x * y = 28
x * ( 3/5 * x ) = 28
x^2 =  46.66
x = 6.83 m
y = 6.83 * 3/5 = 4.10 m

Probe
6.83 * 4.10 = 28.00 m^2