Vektorraum zeigen. Funktionen f : {1, 2} → R mit (f + g)(x) := f(x) + g(x) und (cf)(x) := cf(x).

Question

Meine Aufgabe:

Aufgabe 3.2. Wir betrachten den reellen Vektorraum F der reellen Funktionen f : {1, 2} → R zusammen mit der Addition von Funktionen (f + g)(x) := f(x) + g(x) und der Multiplikation mit Konstanten (cf)(x) := cf(x).

i. Zeigen Sie, dass (F,+,·) ein reeller Vektorraum ist,

ii. Wir setzen:

f1(1) :=1,

f1(2) :=2 ,

f2(1) :=3,

f2(2) :=4 .

Ist B = (f1, f2) eine Basis von (F,+,·)?

Das Thema ist leider noch sehr neu für mich, ich weiß bisher nur wie ich anhand der Axiome zeige, dass es sich um einen reellen Vektorraum handelt.  kann mir vielleicht jemand sagen wie die Funktion

f : {1, 2} → R  aussieht?????? 

f(x) = x² + 2x ??????

Bin sehr schlecht sorry ;/ :D

Weiß nicht wie ich den Informationen im Text entnehmen kann, wie die Vektoren aussehen.

Answer 1

du kannst diesen Vektorraum mit dem \(\mathbb{R}^2\) identifizieren, aber das liegt wohl noch zu weit entfernt.

Es ist schon mal gut, dass du weißt wie man mittels der Axiome zeigt, ob etwas ein VR ist. Die Aufgabe will jedoch darauf hinaus, dass du auch verstehst was ein VR eigentlich ist.

Es macht keinen Sinn sich hier irgendwelche Funktionsterme anzuschauen. Du hast hier einfach nur Abbildungen vorliegen die den Zahlen 1 und 2 irgendwelche reelle Zahlen zuordnen. Das bedeutet du kannst jedes Element \(f \in F \) einfach darstellen durch:

$$ f(1) = a, f(2) = b $$

wobei \(a,b \in \mathbb{R} \). So sieht ein Vektor aus deinem Vektorraum aus. (Wenn wir wieder in den \(\mathbb{R}^2\) wechseln entspricht \(f\) also dem Vektor \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \)).

Viel Spaß nun mit den Axiomen.

Gruß

Comments

Also soll ich die Axiome einfach allgemein für den Vektorraum (R², +,*) beweisen??

Ohne Zahlen, sondern ein allgemeiner Beweis mit x,y zB?

Und ob (f1,f2) eine Basis des Vektorraums ist...dazu muss ich die lineare Unabhänigkeit prüfen richtig?

Die Vektoren dazu lauten dann: f1 = (1 3) und f2 = (2 4 ) (senkrecht geschrieben)  ?????

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Ist es wirklich nötig bei euch zu zeigen, dass \(\mathbb{R}^2\) ein VR ist? Ich denke nicht. Wenn du richtig argumentieren würdest und \(F\) mit diesem identifizieren könntest würde dir das Nachrechnen der Axiome erspart bleiben. Ich denke aber das ist nicht im Sinne der Aufgabe und besonders nicht in deinem SInne.

Dementsprechend sollst du mit den Axiomen zeigen, dass \(F\) ein VR ist. (Ich denke es geht in der Aufgabe darum dich mit der Definition vertraut zu machen). Beispiel:

$$ f(1) = 0, f(2) = 0 $$

wäre das Nullelement bzgl. der Vektoraddition.