Wie zeige ich Isomorphie zwischen zwei Gruppen?

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Hallo :)

Ich habe folgende Aufgabe. Ich soll beweisen, dass die Gruppen (nℤ,+) und (mℤ,+) isomorph sind für alle n,m∈ℕ. Hierbei weiß ich leider gar nicht, wie ich an die Sache ran gehen soll.

Isomorphie zwischen Gruppen ist ja gegeben, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

(G1,♣) und (G2,◊) seien zwei Gruppen und φ:G1→G2. Nun handelt es sich um einen Isomorphismus, wenn (1) φ eine Bijektion ist und (2) wenn gilt: φ(a♣b)=φ(a)◊φ(b) für alle a,b∈G1

nℤ bzw mℤ sind halt wie üblich alle ganzen Zahlen, welche durch n bzw. m teilbar sind.

Wie ich (1) bzw. (2) zeige ist mir leider nicht ganz klar. Man könnte glaube ich versuchen eine Bijektion zwischen G1 und G2 zu konstruieren, aber auch da bin ich mir nicht sicher.

Vielen Dank schonmal :)

Gefragt 10 Nov 2015 von Gast ba9922

2 Antworten

+1 Punkt

Zeige: \( (\mathbb Z , + )  \)und  \( (n\mathbb Z , + ) \) sind isomorph durch Angabe eines Isomorphismus. 

Analog gibt es auch einen Iso. für m statt n. Damit ergibt sich deine gewünschtee Isomorphie (Isomorpphie ist ja transitiv)

Beantwortet 10 Nov 2015 von Gast jd1388
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nℤ bzw mℤ sind halt wie üblich alle ganzen Zahlen, welche durch n bzw. m teilbar sind.

Wie ich (1) bzw. (2) zeige ist mir leider nicht ganz klar. Man könnte glaube ich versuchen eine Bijektion zwischen G1 und G2 zu konstruieren, aber auch da bin ich mir nicht sicher.

Betrachte mal die Abbildung

f :  nℤ --->  mℤ

      n*x ----->  m*x

die ist wohldefiniert, weil jedes Element von  nℤ sich eindeutig

in der Form n*x mit n aus ℤ schreiben lässt  und m*x dann

aus  mℤ ist.

Jetzt zeigst du noch, dass die gesuchte Bijektion ist, die außerdem

f( nx + ny ) = f(nx) + f(my) erfüllt.

Beantwortet 10 Nov 2015 von mathef Experte CXVII

Okay :)

Also ich habe eine Abbildung f: nℤ→mℤ mit nx↦mx

Um nun zu zeigen, dass die Abbildung f bijektiv ist, muss sie injektiv und zeitgleich surjektiv sein.

Injektivität:

Zu zeigen: Für x1,x2∈nℤ mit x1=x2 folgt auch, dass f(nx1)=f(mx2) gilt.

Surjektivität:

Zu zeigen. Zu jedem y∈mℤ existiert mindestens ein x∈nℤ, sodass f(x)=y gilt. Dies wäre doch dann f(nx1)=mx2 mit y=mx2

Mit "f( nx + ny ) = f(nx) + f(my)" meinten Sie bestimmt f( nx + my ) = f(nx) + f(my) oder verstehe ich das leider etwas falsch? :)

Wie gehe ich an die Dinge ran, welche zu zeigen sind? Kann man irgendwie argumentieren, dass m und n zwei Teiler sind? :)

Injektivität:

Zu zeigen: Für x1,x2∈nℤ mit x1=x2 folgt auch, dass f(nx1)=f(mx2) gilt.
Andersherum ist es richtig: wenn die Funktionswerte gleich sind,
dann müssen auch die x-Werte gleich sein.
Deine Aussage stimmt zwar auch, dedeutet aber nur, dass die Funktionswerte
eindeutig festgelegt sind ( Def. einer Funktion)

Also fängst du an: seien x1 und x2 aus nℤ mit f(x1) = f(x2 ) .
Da x1 und x2 aus nℤgibt es a1 und a2 aus Z mit
x1=n*a1 und x2 = n*a2  ,
also f(x1) = m*a1 und f(x2) = ma2 .

wegen f(x1) = f(x2 ) also   ma1 = ma2  und da m ≠ 0
also auch  a1 = a2 und damit    x1 = x2

Surjektivität:

Zu zeigen. Zu jedem y∈mℤ existiert mindestens ein x∈nℤ, sodass f(x)=y gilt. Dies wäre doch dann f(nx1)=mx2 mit y=mx2

oder etwas ausführlicher: Sei    y∈mℤdann gibt es ein a aus Z mit y = m*a .

Dann ist n*a aus nℤ  und  f( n*a) = m*a = y also ist x = n*a das gesuchte x.

Mit "f( nx + ny ) = f(nx) + f(my)" meinten Sie bestimmt f( nx + my ) = f(nx) + f(my) oder verstehe ich das leider etwas falsch? :)
Genau, da hatte ich mich vertippt.

Okay vielen Dank :D

Dazu habe ich eigentlich keine Fragen mehr :)
Hab alles soweit verstanden

Nun habe ich eine kleine Frage zum zweiten Teil, dass also auch f( nx + my ) = f(nx) + f(mx) gelten muss.

In dem Teil mit der Surjektivität hat man ja x = n*a und y = m*a gehabt. Darf man dies jetzt einfach oben einsetzten? Also dass dann gilt:

f( nx + my ) = f( n*(n*a) + m*(m*a) ) = f( n2*a + m2*a ) = f( a*(n2+m2)) => (n2+m2) durch a teilbar

f(n*(n*a)) = f(a*n2) ==> n2 durch a teilbar

f(m*(m*a)) = f(a*m2) ==> m2 durch a teilbar

Da nun f(a*(n2+m2)) durch a teilbar ist und auch f(a*n2) + f(a*m2) durch a teilbar ist folgt:

=>  f( nx + my ) = f(nx) + f(mx) muss gelten

Ist das absoluter Unsinn oder kann man etwas davon verwenden? :)

Um f( nx + ny ) = f(nx) + f(ny) zu zeigen,  ( mit dem m hatte ich mich vertippt,

die sind ja beide aus nZ.)

brauchst du doch nur umzuformen:

f( nx + ny ) = f (   n (x+y) )  =  m(x+y) = mx + my = f(nx) + f(ny)

Danke :)

Zwei Schritte verstehe ich jedoch leider nicht:

Und zwar wie kommt man auf  f(n(x+y)) = m(x+y) und mx + my = f(nx) + f(ny), also wie entstehen diese Umformungen :)

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