Beweise, das Vt ein Untervektorraum ist!

Question

Sei K ein Körper. Es darf verwendet werden, dass K[x] ein

K-Vektorraum ist.
(a) Sei t ∈ K und bezeichne mit Vt ⊆ K[x] die Menge aller Polynome, die bei t eine

Nullstelle haben. Beweise, dass Vt ein Untervektorraum von K[x] ist.
(b) Sei nun K = R und betrachte die Menge V ⊆ R[x] aller Polynome welche bei

i ∈ C eine komplexe Nullstelle haben. Ist V ein Untervektorraum von R[x]? 

Ich weiß, dass die Bedingungen für einen Untervektorraum folgende sind:
- U ≠ 0, 0∈ U
-Abgeschlossenheit bzgl Vektoraddition 

-Abgeschlossenheit bzgl Skalarmultiplikation 

Jetzt fehlt mir der Ansatz

Comments

Die Überprüfung der Bedingungen für Untervektorraum ist der Ansatz.....

Answer 1

(a) Fang doch einfach mal mit Überprüfen an:

Sei  p ein Polynom aus K[x] mit Nullstelle bei t.

- U ≠ 0  gilt, weil z.B. das 0-Polynom aus U

  , 0∈ U  wie gesagt:  Das hat überall Nullstellen, also auch bei t

-Abgeschlossenheit bzgl Vektoraddition

p und q solche Polynome, dann p(t)=q(t)=0

also auch (p+q)(t)=0

-Abgeschlossenheit bzgl Skalarmultiplikation 

p so ein Polynom und s aus K, dann ist s*p auch aus U,

denn s*p hat dann auch bei t eine Nullstelle.

Comments

Was ist das 0 Polynom?

p(t)=q(t)=0 und (p+q)(t) = 0 verstehe ich, aber der allgemeine  Beweis dazu fällt mir schwer

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Das 0-Polynom ist das konstante Polynom vom Wert 0,

also  p(x)=0 für alle x aus K.

p(t)=q(t)=0 und (p+q)(t) = 0 verstehe ich, aber der allgemeine  Beweis dazu fällt mir schwer
in Worten heißt das nur:
wenn man zwei Polynome, die bei t eine Nullstelle haben, addiert,
dann hat die Summe  p+q auch bei t eine Nullstelle.
Damit ist die Abgeschlossenheit gegenüber der
Vektoraddition (Die Vektoren sind ja jetzt die Polynom.) gezeigt.

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Ja aber ich kann doch nicht einfach sagen, dass aus p(t)=q(t)=0, (p+q)(t) = 0 folgt??

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ausführlicher so:

Vor.:  p(t)=q(t)=0

Dann gilt  (p+q)(t) =   (Def. der Summe von Polynomen)

                   p(t) + q(t) =        wegen Vor.

                     0   +    0    = 0     q.e.d.