Lass uns doch direkt A=R nehmen.
Wir nehmen als Zwischengedanken mal: ∣x−a∣<δ<1. Somit ist vor allem wegen der Dreiecksungleichung ∣x+a∣=∣x−a+2a∣≤∣x−a∣+2∣a∣<1+2∣a∣.
Somit suchen wir für ein ε>0, δ>0, so dass
2∣x+a∣∣x−a∣<2(1+2∣a∣)δ≤ε
Setzen wir also δ=min(2+4∣a∣ε,c), wobei 0<c<1 irgendeine Zahl ist, so finden wir für alle a∈R und ε>0 also ein δ>0, so dass aus ∣x−a∣<δ folgt, dass ∣f(x)−f(a)∣<ε. Somit ist die Funktion f(x)=x2 auf ganz R stetig.