Konvergenz und Grenzwert, Folgen

Question

"Zeigen Sie, dass die Folgen konvergieren und bestimmen Sie den Grenzwert."

Fangen wir einfach bei der (a) an:

a_n = \(  \frac { 2^n + n^2 }{ \sqrt { 4^n + 3^n + 2n} } \)

Also ich muss wohl die Wurzel aus dem Nenner kriegen und habe jetzt folgendes stehen:

\( \lim_{n\to\infty}  \frac { (2^n + n^2)\sqrt { 4^n + 3^n + 2n } }{ 4^n + 3^n + 2n }\)

Wie soll es denn jetzt weitergehen ?

Answer 1

eine Erweiterung ist nicht nötig, falls ihr schon paar grundlegende Grenzwerte kennen gelernt habt.

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \frac{2^n+n^2}{\sqrt{4^n+3^n+2n}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{2^n+n^2}{2^n \sqrt{1+ \left( \frac{3}{4} \right)^n + \frac{2n}{4^n} }}  =\lim \limits_{n \to \infty} \frac{1+\frac{n^2}{2^n}}{\sqrt{1+ \left( \frac{3}{4} \right)^n + \frac{2n}{4^n} }} $$

Gruß

Comments

ja haben wir, aber keiner von denen scheint mir ähnlich meiner Aufgabe, sodass ich weiter rechnen könnte.

Ich verstehe aber auch deine Rechnung nicht ganz. Du hast im Nenner 4ⁿ ausgeklammert, aber  dann steht da nur noch 2ⁿ ? Dass du es am Ende weggekürzt hast, sehe ich.

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Die ganzen Brüche im Zähler und Nenner des letzten Terms gehen gegen 0 (dazu solltest du bestimmt schon Beispiele gesehen haben).
Ich habe aus der Wurzel \(4^n = (2^n)^2\) ausgeklammert. Es ist \(\sqrt{4^n} = 2^n\). Das nennt sich teilweise Wurzelziehen.

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Ja gut, wenn alle Brüche gegen 0 gehen, dann hab ich am Ende \( \lim_{n\to\infty} \frac { 2^n + n^2 }{ \sqrt { 4^n + 3^n + 2n }} = 1 \)

Ich denke, damit ist die (a) fertig.

Bei Aufgabe (b) \( b_n \lim_{n\to\infty} \frac { \sqrt {n+1} \sqrt {n+3}} { n+2} \)

Habe zuerst den Zähler umgeformt, aber das war am Ende denke ich unnötig. Da \( \sqrt{n}  →  \infty \), so auch \( \sqrt{n+1} → \infty \) bzw. \( \sqrt{n+3} → \infty \). Also geht der ganze Zähler → ∞.

Und beim Nenner: \( \lim_{n\to\infty} n → n\) und \( \lim_{n\to\infty} 2 → 2 \). Als geht der Nenner → n+2.

Das heißt die Folge geht \( → \frac {\infty}{n+2} = \infty \)

?

(d) \( d_n = \frac{n!}{n^n} \)

Sowohl n! →∞ also auch \( n^n →∞ \), also auch \( d_n → ∞ \)  oder \( d_n → 1\) . Bin nicht sicher.

(e) \( e_n = \sqrt { n + \sqrt{n}} - \sqrt {n} \)

Wie bei Argumentation oben ist \( \sqrt{n} → ∞ \) also ist \( e_n → ∞\)  ? Oder \( e_n → 0 \). Da bin ich mir auch unsicher.

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Wo kommen die Aufgaben auf einmal her :D?

Diese ganze Grenzwertbetrachtung macht man doch grade, weil es auf anhieb nicht klar ist was passiert, wenn Zähler und Nenner gegen unendlich laufen.

(b) Nenner geht auch gegen unendlich. Also musst du dir schon was einfallen lassen. Ebenso bei (d) und (e).

Die Argumentation die du bisher verwendest ist überhaupt nicht schlüssig.

Answer 2

Zwar vermute ich auch, dass der Lehrer die schöne Sonderfall-Methode

"4ⁿ lässt sich gut Faktorisieren und aus der Wurzel herausbringen" haben will (siehe Yakyu),

Aber mich würde interessieren, ob Lehrer auch die

schnelle universelle Abkürzungs-Methode akzeptieren würden:

§1: bei Summe aus aⁿ+Polynom mit a>=1.5 und n->∞ kann ein Polynom vernachlässigt werden

lim (2ⁿ+n²)/sqrt(4ⁿ+3ⁿ+2n) -> n² und 2n fallen weg

also

lim 2ⁿ/sqrt(4ⁿ+3ⁿ)

§2: bei einer Summe von Potenzen k1*aⁿ+k2*bⁿ (a>1,b>1, alle k>0) ist nur die höchste entscheidend (n->∞),

wenn nicht gerade im Nenner & Zähler identische Potenzen und k's vorliegen

weiterhin 4ⁿ=2²ⁿ ergibt

lim 1*2ⁿ/sqrt(1*2²ⁿ+0)=lim 2ⁿ/2ⁿ = 1