Extremwertaufgabe: Achsenparalleles Rechteck soll maximale Fläche haben

Question

ich soll in Mathe Extremwertaufgaben vorstellen und habe dafür verschiedenen Aufgaben bekommen. Ich konnte davon auch alle lösen außer diese:

Ein Grundstück ist begrenzt durch die beiden Koordinatenachsen, die Gerade x=5 und den Graphen f(x)= 3*e^-x. Auf diesem Grundstück soll ein achsenparalleles, rechteckiges Gebäude mit maximaler Fläche gebaut werden.

Ich bin total verzweifelt und hoffe, dass mir hier jemand sagen kann, wie ich vorgehe und die maximale Fläche des Rechtecks berechnen kann.

Ich freue mich über jede Hilfe!!

Answer 1

~plot~3*e^{-x}; x=5;x=1.5;0.669; [[-1|6|-1|4]]~plot~

Stelle dir einen Punkt (x;y) auf dem Graphen vor ( habe ich mal bei x=1,5 eingezeichnet)

und zeichne durch ihn  eine

waagerechte und eine senkrechte Linie. Diese bilden zusammen mit

den Stücken der x und y-Achse das betreffende Rechteck.

Es hat die Fläche A ( x,y) = x*y

Weil der Punkt auf dem Graphen liegt ist y= e^-x    

Also A(x) = x  *   3*e^-x    

vor dieser Funktion bestimmst du das Max für x aus dem Bereich von 0 bis 5.

Answer 2

Das Rechteck hat die Fläche bestehend aus dem Produkt der Seitenlängen x und f(x). D.h.:

A = x * f(x) = x * 3*e^-x

Dieses muss man ableiten und Nullsetzen.

A'(x) = 3e^{-x} - x*3*e^{-x} = 0

= (3 - 3x) * e^{-x} = 0

Satz vom Nullprodukt: Nur der erste Term kann Null werden. Daraus resultiert x=1. Der dazugehörige Funktionswert lautet 3/e = 1,1

Comments

Danke für deine schnelle Antwort! Hast mir damit sehr geholfen!!

Sagt mir der Hinweis, dass die Gerade x=5 ist gar nichts wichtiges für die Aufgabe aus?

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Die Gerade x=5 begrenzt lediglich den Bereich in dem das Rechteck gebildet werden soll. Problematisch wäre es, wenn ein x>5 herauskommen würde.

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Ich verstehe! Super! Vielen lieben Dank!!

Ein Problem habe ich trotzdem noch...

Ich muss ja nicht von der Formel A=x+f(x) nur den x-Wert errechnen, sondern bestimmt auch noch was genaueres mit der f(x) berechnen, oder? Oder auch nicht?

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Wenn du oben mal genau nachliest siehst du, dass die Funktion A = x * f(x) heißt und nicht x+f(x).

Den x-Wert habe ich berechnet mit 1. Und den Funktionswert habe ich auch berechnet. f(1) = 3/e = 1,1.

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Entschuldige, das war ein Tippfehler. Ich weiß natürlich, dass es x * f(x) ist!

Ich kann auch vollkommen nachvollziehen wie du auf x=1 kommst. Das habe ich auch so errechnet. Und ich habe jetzt auch verstanden, wie du auf 1,1 kommst.

Herzlichen Dank für deine Hilfe!!