St. Petersburger Spiel - Gibt es einen fairen Einsatz?

Question

Beim St. Petersburger Spiel wird eine Münze so lange geworfen, bis erstmals Zahl erscheint. Geschieht dies beim n-ten Wurf, so erhält der Spieler 2n Euro vom Casino. Sei X die Auszahlung an den Spieler.

1. a)  Gibt es im St. Petersburger Spiel einen fairen Einsatz a mit E[X − a] = 0 ?

2. b)  Ist bei N Münzwürfen Zahl nicht erschienen, so werden die verfügbaren Mittel des Casinos überschritten und der Spieler erhält gar nichts. Bestimmen Sie den fairen Einsatz für diese Modifikation des Auszahlungsprofils. 

Answer 1

a)

Der Erwartungswert der Auszahlung ist

∑ (k = 1 bis ∞) (k·0.5^k) = 4

Bei b) berechnest du jetzt den Erwartungswert der Auszahlung bei nur N würfen. Dabei bleibt N als Platzhalter stehen. Du kannst zur Kontrolle mal für N 4 einetzen und schauen ob das Ergebnis hinkommt.