$$ U(x,y)= \sqrt{x \, y} $$
$$120 = 10x +5 y$$
$$24 = 2x + y$$
$$y= 24 - 2x $$
$$ U(x)= \sqrt{x \,( 24 - 2x)} $$
$$ U(x)= \sqrt{24x \, - 2 x^2} $$
$$ U'(x)=\frac1{ \sqrt{24x \, - 2 x^2}} \cdot (24-4x) $$
$$ U'(x)=0$$
$$ 0=\frac1{ \sqrt{24x \, - 2 x^2}} \cdot (24-4x) $$
$$ 0= 24-4x $$
$$ x= 6 $$
---
Definitionsmengeneinschränkung prüfen:
$$ 0\ge 24x-2x ^2 $$
$$ 0= x $$
$$ 0\ge 24-2x $$
$$ x \ge 12 $$
=====
$$ U(x,y)= \sqrt{x \, y} $$
$$120 = 10x +8 y$$
$$60 = 5x + 4y$$
$$y= 15 - \frac 54 x $$
$$ U(x)= \sqrt{x \,(15 - \frac 54 x )} $$
$$ U(x)= \sqrt{15x \, - \frac 54 x^2} $$
$$ U'(x)=\frac1{ \sqrt{15x \, - \frac 54 x^2}} \cdot (15 \, - \frac 52 x) $$
$$ U'(x)=0$$
$$ U'(x)=\frac1{ \sqrt{15x \, - \frac 54 x^2}} \cdot (15 \, - \frac 52 x) $$
$$ 0= 15 \, - \frac 52 x $$
$$ x= 15 \cdot \frac 25 $$
$$ x= 6 $$
---
Definitionsmengeneinschränkung prüfen:
$$ 0\ge 15x \, - \frac 54 x^2 $$
$$ 0= x $$
$$ 0\ge 15 \, - \frac 54 x $$
$$ \frac 54 x\ge 15 \, $$
$$ \frac 14 x\ge 3 \, $$
$$ x \ge 12 $$
=====
In beiden Fällen wird von Gut x zu 10€ 6 Stück gekauft, um das Nutzenoptimum zu erhalten - das andere Gut wird mit 60 E erworben - nach der Preiserhöhung eben weniger Stücke.
vorher 12 nachher 7,5
macht 4,5 weniger.
