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Die Punkte P(2/8,5) und Q(6/7,5) legen eine lineare Funktion fest.

a) Bestimme die Funktionsgleichung zeichnerisch.

b) Berechne den Schnittpunkt S mit der x-Achse.

c) Gegeben ist eine weitere lineare Funktion durch den Ursprung mit der Steigung m=2. Zeichne beide Funktionsgleichungen in ein Koordinatensystem.

d) Lies den Schnittpunkt T beider Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch.

 

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Falls du dich mit Funktionen noch nicht so gut auskennt, sieh dir einfach die Videos zu den Funktionen an. Dort lernst du die entsprechenden Grundlagen.

1 Antwort

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a) Da die Aufgabe zeichnerisch zu lösen ist, musst du natürlich erstmal die beiden Punkte und eine Gerade durch sie zeichnen.

 

Jetzt kann man die Funktionsgleichung folgendermaßen ablesen:
Die Gleichung lautet (allgemein formuliert) f(x) = mx + n

Das n ist der y-Achsenabschnitt, also der Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse. Der ist hier 9.

Das m kannst du zeichnerisch aus einem Steigungsdreieck ermittelt, indem du schaust, wieviel Schritte der Graph nach oben geht, wenn du einen Schritt nach rechts gehst. In diesem Fall folgt m = -1/4

Die Gleichung lautet also:

f(x) = -1/4 x + 9

 

b) Um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen muss f(x) = 0 gesetzt werden:

0 = -1/4 x + 9 | +1/4 x

x/4 = 9  | * 4

x = 36

 

Der Schnittpunkt lautet also (36, 0).

 

c) Die nächste Funktion (nennen wir sie g) hat wieder die allgemeine Form einer linearen Funktion:

g(x) = o*x+p

Ich habe andere Buchstaben gewählt, um sie von den Variablen des ersten Aufgabenteils zu unterscheiden.

Die Funktion geht durch den Nullpunkt, also gilt f(0) = 0 ⇒ p = 0

Außerdem soll sie die Steigung 2 haben ⇒ o = 2

Die Gleichung lautet also:

g(x) = 2x

Und so sieht das gezeichnet aus.

 

d) Aus der Zeichnung lässt sich als Schnittpunkt der Punkt (4, 8) ablesen.

Rechnerische Prüfung:
für den Schnittpunkt gilt f(x) = g(x):

-x/4 + 9 = 2x |  *4

-x + 36 = 8x | +x

36 = 9x | :9

4 = x

Eingesetzt in eine der Funktionsgleichungen ergibt sich dann auch hier der Punkt (4, 8).

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