Eigenschaften von Relationen und Äquivalenzklassen

Question

Hey MatheLounge Community,

ich sitze bei dem unten abgebildeten Beispiel fest und komme nicht weiter. Ich habe keine Ahnung, wie ich das Beispiel überhaupt anfangen soll. Wäre nett wenn jemand einen Tipp hätte oder einen Lösungsansatz. Danke

Comments

Was unterscheidet die Aufgabe denn von a) und b)?

Ansätze sollten dieselben sein....

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die ersten beiden waren deutlich einfacher und waren teilweise schon behandelt worden.

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Die Ansätze sind übrigens ganz einfach die Definitionen. Wie du vorgehen kannst:

1) Bedingung für die Eigenschaft für die konkrete Relation aufschreiben.

2) Überlegen ob diese erfüllt ist und hinschreiben warum.

Beispiel: reflexiv würde

1) bedeuten, dass für alle \((a,b) \in \mathbb{N^2} \) gilt: \((a,b) \overset{\Delta}= (a,b)\).

2) das wäre gleichbedeutend zu \(a+b=a+b\) für alle \(a,b \in \mathbb{N} \), was offensichtlich richtig ist.

Answer 1

ich schreibe x R y für x steht in Relation zu y

Reflexivität ist laut Kommentar gegeben

Symmetrie?

(a₁ , a₂) R (b₁ , b₂)   →   (b₁ , b₂) R (a₁ , a₂)  ?

⇔

a1 + b1 = a₂ + b₂   →   a₂ + b₂  =  a₁ + b₁   ist offensichtlich wahr  

Transitivität?

(a₁ , a₂) R (b₁ , b₂)  und  (b₁ , b₂) R (c₁ , c₂)     →   (a₁ , a₂) R (c₁ , c₂)  ?

⇔

a1 + b1 = a₂ + b₂  und   a₂ + b₂ = c₁ + c₂   →    a1 + b1 =  c₁ + c₂    ?

ist offensichtlich auch wahr

Es liegt also eine Äquivalenzrelation vor.

 [  " = " ist eben eine Äquivalenzrelation, was sich hier überträgt ]

Gruß Wolfgang