Maximum soll minimal werden

Question

Die Funktion

$$f(x)=\sqrt{x}$$

x soll auf dem Intervall \([0,1]\)

durch eine affin-lineare Funktion \( l(x)=x+c\) möglichst gut approximiert werden

in dem Sinn, dass

$$max(|f(x)-l(x)|:0\leq x \leq 1)$$

minimal wird. Fur welche Wahl von \( c\in \mathbb{R}\) ist dies der Fall?

Answer 1

d(x) = f(x) - l(x) ( erst mal ohne Betrag)

= √x  - x - c  und davon die Extrema über die Ableitung

d ' (x) =  1 / ( 2* √x ) - 1 also d ' (x) = 0 mit  

1 / ( 2* √x ) = 1

2* √x  = 1

√x  = 1/2

x = 1/4

also ist bei x = 1/4 eventuell eine Extremstelle, und man muss auf die Randwerte achten

d(0)= -c 

d(1) = -c

d(1/4) = 1/2 - 1/4 - c = 1/4 -  c

entsprechend bei l(x)-f(x) ergeben sich die Werte c und c -1/4

Und weil c offenbar > 0 sein muss ist das Maximum der Differenz

das Maximum von  c und 1/4 - c bzw. wenn beide gleich sind

c=1/8 .  Sieht dann so aus ~plot~sqrt(x);1/8+x ; [[0|1|0|1]]~plot~