Skalarprodukt mithilfe der skalaren Vektorkomponenten - ausführlich

Question

mir erschließt sich ein Schritt für die Berechnung des Skalarproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten nicht.

Wieso ADDIERT man die Zahlen einer Koordinate und multipliziert sie dann erst zusätzlich? Also warum ist nach der Zeile..:

Vektor a mal Vektor b = (a_x, a_y) (b_x, b_y)

..dieser hier der nächste: = (a_xb_x+a_ye_y) (b_xe_x+b_ye_y)? (Einheitsvektoren sind mir klar)

Answer 1

Das ist wohl eher so gemeint, dass e_x und e_y die Einheitsvektoren sind

Vektor a mal Vektor b = (a_x, a_y) (b_x, b_y)

Dann bedeutet ja (a_x, a_y) das gleiche wie  a_{x *}e_x   +a_y e_y  also eine

Linearkombination der Einheitsvektoren.  Dann ist wohl die Idee, dass man dann alles

auf die Koordinaten ( das sind ja Zahlen im Gegensatz zu e_x und e_ydas sind Vektoren)

zurückführen  kann.  Die nächste Zeile, (da hattest du dich vertippt) ist

: = (a_xe_x+a_ye_y) (b_xe_x+b_ye_y)   und wenn du das mit den Gesetzen des Skalarproduktes

umfomst bekommst du letztlich

a_x*b_x(e_xe_x)  +  a_x*b_y(e_xe_y)  +  a_y*b_x(e_ye_x)  +  a_y*b_y(e_ye_y) 

und weil man die Ergenisse bei den Einheitsvektoren kennt,

nämlich 0 bzw. 1 bleibt nur noch

a_x*b_x+  a_y*b_y

Das ist quasi die Herleitung. Beim konkreten rechnen nimmt man

natürlich immer gleich das, was im Endergebnis steht

Vektor a mal Vektor b = a_x*b_x+  a_y*b_y

Comments

Ja, genau um den Beweis geht es.

Ich weiß aber nicht, ob ich einen ganz einfachen Zusammenhang gerade nicht erkenne, oder ob es noch eine Regel gibt, die mir sagt, warum ich  a_{x *}e_x   mit a_y e_y  ADDIERE. Was steckt dahinter?

---

wie gesagt:

(a_x, a_y) bedeutet das gleiche wie  a_{x *}e_x   +a_y e_y .

Denn die beiden Zahlen  a_x und  a_y  sind ja die Koeffizienten,

die man zur Darstellung des Vektors als Linearkombination der Basis

benutzen muss.

---

Ah ja klar. Ich hatte gerade ganz falsch gedacht, dass wenn dann überhaupt die Quadrate addiert werden müssten, weil ich die Betragsberechnung im Kopf hatte, aber nicht an die Wurzel gedacht habe.

Answer 2

Das ist vermutlich ein Schritt aus einer längeren Beweiskette. Wozu das jetzt gemacht wird ist hier nicht klar. Weiterhin ist deine zweite Zeile doch verkehrt oder nicht ? Ich würde da zumindest kein axbx vermuten.

Vielleicht stellst du den gesamten Bewis mal online. Dann wird vielleicht klar warum die das so machen.

Normalerweise ist die Definition des Skalarproduktes

[ax, ay] * [bx, by] = ax * bx + ay * by

Nun splitten sie das Produkt auf mit

[ax, ay] = ax * [1, 0] + ay * [0, 1]

Und erhalten dann

(ax * [1, 0] + ay * [0, 1]) * (bx * [1, 0] + by * [0, 1])