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Beispiel 16.15:

Zwei Vektoren \( \vec{a}=(1 ; 2 ; 3) \) and \( \vec{b}=(4 ; 5 ; 6) \) spannen ein Parallelogramm auf. Man berechne seinen Flächeninhalt A.

Lösung:

Gemäß der Definition zum Vcktorprodukt entspricht der gesuchte Flächeninhalt dem Betrag des aus \( \vec{a} \times \vec{b} \) hervorgegangenen Vektors \( \vec{c} \), der sich mit Gleichung (16.13) berechnen lässt. Vorher ist der Winkel \( \Phi \) mithilfe des Skalarproduktes nach den Gleichungen (16.10) und (16.11) zu bestimmen.

\( \begin{aligned} \cos \phi &=\frac{a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}}{a b} \\ &=\frac{1-4+2 \cdot 5+3 \cdot 6}{3.7-8.8} \end{aligned} \)
\( \cos \phi=0.983 \), daraus folgt \( \phi=10.6 \) " und
\( \sin \phi=0,185 \)

Damit erhält man aus Gleichung (16.13)

\( A=|\vec{C}|=c=3,7 \cdot 8,8 \cdot 0,185=6 \text { Flächeneinheiten } \)


Ansatz/Problem:

Ich verstehe hier nicht, warum der Winkel berechnet wird. Es wird doch nach einem Flächeninhalt gefragt.

Warum wird hier das Skalarprodukt zur Bestimmung des Winkels errechnet?

Man kann doch einfach das Kreuzprodukt nehmen, aber da mache ich anscheinend auch einen Fehler, zumindest ist das Ergebnis für den Flächeninhalt nicht dasselbe.

veca = (1;2;3); vecb = (4;5;6)

veca x vecb = vecc = (-3;6;-3)

A = Betrag vecc = sqrt((-3)²+6²(-3)²) = sqrt54

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2 Antworten

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Hi,

die Lösung in deinem Buch ist falsch. Ich habe einen anderen Winkel und auch ein anderes Ergebnis nach deren Lösungsweg für A (übrigens das gleiche Ergebnis wie du über das Vektorprodukt).

Warum deren Weg hier funktioniert:

Wenn du dir das geometrisch vorstellst so ist sin(gamma)*|b| die Höhe des Parallelogramms. Deswegen kann der Flächeninhalt nach der allgemeinen Formel

A = g*h, berechnet werden. Da die grundseite Länge |a| besitzt hast du also

A = |a|*sin(gamma)*|b|


(Das falsche Ergebnis in deinem Buch ist ein super Beispiel dafür, was durch Rundungsfehler alles passieren kann :D)

Avatar von 23 k
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Schon der Winkel ist im Lösungsheft total falsch berechnet. Wer Rundet auch die Vektorlänge auf 3.7 ?? Sowas kann doch nicht gut gehen?

α = ARCCOS([1,2,3] * [4,5,6]/(|[1,2,3]| * |[4,5,6]|)) = 12.93315449

Aber wie bereits gesagt wurde ist das Kreuzprodukt hier wesentlich angenehmer zu berechnen.

Avatar von 481 k 🚀

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