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ich bräuchte bitte Hilfe bei einer Matheaufgabe. :D

Also normalerweise hatten wir immer Aufgaben, wo man bei Nullstellenberechnung das x ausklammern konnte und das kann ich auch, aber hier komme ich nicht weiter( es geht um die Berechnung von Hochpunkten und Tiefpunkten):

f'(x)=3x^2-8x+3.

Hier kann ich ja kein x ausklammern, da die x ja kein gemeinsamer Faktor ist, oder? Wie geht das dann? :)
von

3x2-8x+3=0 ist eine quadratische Gleichung. Mattok hat dir das erklärt. Genaueres vgl. auch

https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung

2 Antworten

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Erste Ableitung 0 setzen und dann den x-Wert in die zweite Ableitung einsetzen

Wenn f´´(x) < 0 dann ist es ein Hochpunkt.

Wenn f´´(x) >0 dann ist es ein Tiefpunkt.
von
Ich glaube, das ist nicht das Problem des Fragestellers, sondern es geht darum, wie man die Gleichung überhaupt nach x auflöst, nachdem die Ableitung gleich 0 gesetzt wurde, wenn sich x nicht ausklammern lässt. ;)
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Also, du möchtest ja folgende Gleichung nach x auflösen:

0 = 3x² - 8x + 3

Da hast du völlig richtig erkannt, dass einem es hier nicht weiterhilft, x auszuklammern. Daher teilt man zunächst mal durch 3, damit das x² alleine steht:

0 = x² - 8/3 x + 1

Und nun wendet man, ich sag mal, einen kleinen "Trick" an. Ich mach es mal ganz langsam Schritt für Schritt. ^^
Du kennst sicher die binomischen Formeln, vor allem die ersten beiden, also:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

Nun stellt man sich diese Umformung mal andersherum vor. Man möchte aus einem Term wie oben nun ein Binom formen, also (a + b)² oder (a - b)². In unserem Fall eignet sich da wohl eher (a - b)², da die Zahl vor dem x (also -8/3) negativ ist.

So, also soll praktisch die Umformung a² - 2ab + b² = (a - b)² auf unseren Term x² - 8/3 x + 1 angewandt werden.
Dabei stellt das x auf jeden Fall mal das a aus der binomischen Formel dar. Dementsprechend müssen die 8/3 für das 2b stehen. Soweit klar?

Und ganz hinten soll nun nicht irgendeine 1 stehen, sondern b². Dieses b² wäre dann in diesem Fall 16/9, denn wenn 8/3 unser 2b ist, dann ist 4/3 das einfache b und dementsprechend das Quadrat davon, also 16/9, dann b².

Wie kriegen wir nun hin, dass hinten eben 16/9 steht und nicht irgendeine 1? Durch die sogenannte quadratische Ergänzung. Wir addieren einfach 16/9 und subtrahieren es dahinter wieder:

0 = x² - 8/3 x + 16/9 - 16/9 + 1

Die 1 bleibt hinten einfach so stehen und lässt sich ja nun auch mit den - 16/9 verrechnen und auf die andere Seite schieben:

0 = x² - 8/3 x + 16/9 - 7/9   | + 7/9
7/9 = x² - 8/3 x + 16/9

Und nun haben wir ja genau unser a² - 2ab + b² dort auf der rechten Seite stehen und können die binomische Formel anwenden. :)

7/9 = (x - 4/3)²
und mal umgestellt (sieht schöner aus ^^): (x - 4/3)² = 7/9

Danach können wir die Wurzel ziehen und die Gleichung ganz normal nach x auflösen. Bei der Wurzel natürlich beachten, dass sowohl die positive als auch die negative Lösung in Frage kommt.

x - 4/3 = √(7)/3   ∨   x - 4/3 = -√(7)/3   | + 4/3
x = 4/3 + √(7)/3   ∨   x = 4/3 - √(7)/3
x = (4 + √(7))/3   ∨   x = (4 - √(7))/3
x ≈ 2,215   ∨   x ≈ 0,451

So, und für das Ganze (weil es ja doch am Anfang recht kompliziert erscheint) gibt es zum Glück auch noch eine kleine Formel, die sogenannte pq-Formel, die man einfach auswendig lernen sollte. Wenn man die Gleichung in folgender Form da stehen hat:

0 = x² + px + q

Dann lassen sich die Lösungen sofort mit dieser Formel berechnen:

x = - p/2 ± √((p/2)² - q)

Kannst du ja auch gerne mal austesten. Wenn man nun für p die -8/3 und für q die 1 einfügt, erhält man dieselben Ergebnisse wie durch die quadratische Ergänzung. Die pq-Formel entsteht ja praktisch auch so, wie wenn man all die einzelnen Schritte von oben direkt in einem durchführt und dabei eben die Variablen p und q beibehält. :)
von 1,0 k

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