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Ermitteln Sie alle Nullstellen von f und geben Sie diese exakt an.

f(x)= 0,5x^3 -4,5x^2 +12x -9
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Wir dürfen keine Polonymdivision benutzen (im Jahre 2013)

\(f(x)= 0,5x^3 -4,5x^2 +12x -9\)

\(f´\frac{a}{b}(x)= 1,5x^2 -9x+12\)

\( 1,5x^2 -9x+12=0\)

\(x_1=2\)       \(f(2)=1\)

\(x_2=4\)      \(f(4)=-1\)

Kubische Parabeln sind punktsymmetrisch zum Wendepunkt.

\(W( \frac{4+2}{2}| \frac{-1+1}{2})\)   \(W( 3| 0)\) Der Wendepunkt ist somit auch eine Nullstelle.

\( 0,5x^3 -4,5x^2 +12x -9=0\) → \( x^3 -9x^2 +24x -18=0\)

Die Nullstellen von \(g(x)\) sind identisch mit den Nullstellen von \(f(x)\)

Ich verschiebe den Wendepunkt \(W( 3| 0)\)→\(W´( 0| 0)\)

Somit wird aus  \(g(x)= x^3 -9x^2 +24x -18\)  →

→\(h(x)= (x+3)^3 -9*(x+3)^2 +24*(x+3) -18\)

\(h(x)=x^3+9x^2+27x+27 -9x^2-54x-81 +24x+72 -18\)

\(h(x)=x^3-3x\)

\(x^3-3x=x*(x-N)*(x+N)=x*(x^2-N^2)=x^3-N^2*x\)

Koeffizientenvergleich ergibt  \(N^2=3\)→  \(N_1=-\sqrt{3}\)    \(N_2=\sqrt{3}\)

Ich verschiebe diese Nullstellen nun um 3 Einheiten nach rechts:

Nullstellen von \(f(x)\)  \(N_1=-\sqrt{3}+3\)  \(N_2=3\)   \(N_3=\sqrt{3}+3\)

Unbenannt.JPG


von 35 k

Der Wendepunkt ist somit auch eine Nullstelle.

Da hast du aber Glück gehabt.

Da hast du aber Glück gehabt.

Fortuna fortibus favet , v.a. die Retter der quadratischen Ergänzung.

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Vorschlag; die Dezimalzahlen "verschwinden "zu lassen, die Funktion mit 2 multipliziern

x³-9x²+24x-18 =0      durch Polynomdivision die erste Nullstelle finden , da in den  Parametern die Teiler 2 und 3 enthalten sind , mit  3 probieren

(x³-9x²+24x -18).(x-3)= x² -6x+6        erste Nullstelle   x1=3

nun die pq-Formel anwenden

x2,3= 3±√(9-6)                                                               x2=3+√3  =4,732

                                                                                     x3=3-√3    =1,2679                              

von 40 k
Wir dürfen keine Polonymdivision benutzen
Welche Verfahren  werden im Unterricht benutzt?

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