ist p(x) --> p(x-1) eine lineare Abbildung?

Question

Es ist gegeben:

f: ℝ[x] --> ℝ[x]

Ist folgende Abbildung linear?

f: p(x) --> p(x-1)

Wie geht man da vor?

Ich habe als erstes auf Additivität hin untersucht, sprich:

Λx,y ∈ℝ[x]

zz. f(p(x)+p(y)) = f(p(x)) + f(p(y))

f(p(x+y)) = f(p(x))+f(p(y))

p(x+y-1) = p(x-1)+p(y-1)

p(x+y-1) ≠ p(x-1+y-1) = p(x+y-2)    Also keine lineare Abb.?

Könnt ihr mir bitte helfen?

Comments

Die Elemente die zu unterscheiden sind wären zum Beispiel \(p(x)\) und \(q(x)\) und nicht \(p(x)\) und \(p(y)\). Elemente von \(\mathbb{R}[X]\) sind Polynome und nicht Variablen.

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Danke für die schnelle Antwort.

Stimmt das dann so ?:

Λ_{p(x),q(x)∈ℝ[x]} f(p(x)+q(x)) = f(p(x))+f(q(x))

f((p+q)(x)) = f(p(x)) + f(q(x))

(p+q)(x-1) = p(x-1) + q(x-1)

p(x-1) +  q(x-1) = p(x-1) + q(x-1)

und Multiplikativität:

Λ_(λ∈Κ) Λ_p(x) f(λ*p(x)) = λ*f(p(x))

λ*p(x-1) = λ*p(x-1)

So hätte ich das jetzt von dir verstanden.

Also ist es eine lineare Abbildung?

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Bräuchte das bitte sehr !

Answer 1

Hi,

Ja ist es und im Grunde hast du auch damit den Nachweis erbracht. Wie du erkennen kannst, folgt die Linearität der Abbildung direkt daraus, dass \(\mathbb{R}[X]\) ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum ist.

Gruß