Lokale Änderrungsrate von f

Question

wie bestimme ich die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x0? a) f(x)=x^3, x0=1 b)f(x)=1-x^2, x0=2 c)f(x)=1/x, x0=1

danke.

Answer 1

Differenzialquotient

Ich schreibe im folgenden statt x₀ aber einfach x, weil es übersichtlicher ist.

(f(x + h) - f(x)) / h

a)

((x + h)^3 - x^3) / h
= (x^3 + 3·h·x^2 + 3·h^2·x + h^3 - x^3) / h
= (3·h·x^2 + 3·h^2·x + h^3) / h
= 3·x^2 + 3·h·x + h^2

für h → 0

= 3·x^2

für x = 1

= 3

Comments

b)

(f(x + h) - f(x)) / h
= (1 - (x + h)^2 - (1 - x^2)) / h
= (1 - (x^2 + 2·h·x + h^2) - 1 + x^2) / h
= (1 - x^2 - 2·h·x - h^2 - 1 + x^2) / h
= (-2·h·x - h^2) / h
= -2·x - h

für h → 0

= -2·x

für x = 2

= -4

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c)

(f(x + h) - f(x)) / h
= (1 / (x + h) - 1 / x) / h
= (x / (x(x + h)) - (x + h) / (x(x + h))) / h
= ((x - (x + h)) / (x(x + h))) / h
= (-h / (x(x + h))) / h
= -1 / (x^2 + h·x)

für h → 0

= -1 / x^2

für x = 1

= -1

Ich habe alle Aufgaben hier mal bewusst allgemein gehalten. Natürlich kann ein bekanntes x bzw. x0 schon gleich von Anfang an eingesetzt werden. Ich habe es allgemein aber erstmal bis zum Schluss stehen lassen, weil man so ganz allgemein den Differenzialquotienten bildet.

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Gerade in der letzten Aufgabe wird es übersichtlicher, das schön mit Brüchen zu schreiben. Probier mal ob du das hin bekommst.