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(a) Seien f : R(0,) f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) und g : RR g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} stetige, differenzierbare Funktionen. Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion F : R(0,) F: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) mit F(x) : =f(x)g(x) \quad F(x):=f(x)^{g(x)} .

(Hinweis: Für alle z>0 z>0 gilt z=eln(z).) \left.z=e^{\ln (z)} .\right)

(b) Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

f(x)=52x21,g(x)=(4x21)sin(x),h(x)=(5x+1)ln(x2+2x+3) f(x)=5^{2 x^{2}-1} \quad, \quad g(x)=\left(4 x^{2}-1\right)^{\sin (x)} \quad, \quad h(x)=(5 x+1)^{\ln \left(-x^{2}+2 x+3\right)}

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Zu b):

Die Tricks, die bei all diesen Aufgaben helfen, sind:

eln(x)=xeln(xa)=ealn(x) e^{ln(x)}=x \\ e^{ln(x^a)}=e^{a\cdot ln(x)} Ich werde dir f(x) und den Definitionsbereich von h(x) (der hat noch seine Tücken) ausführlich vorlösen:

Definitionsbereich von f(x):

52x21=eln(52x21)=e(2x21)ln(5) 5^{2x^2-1}=e^{ln(5^{2x^2-1})}=e^{(2x^2-1)ln(5)} Nun ist die e-Funktion auf ganz ℝ definiert, d.h. du kannst für x einen beliebigen Wert aus ℝ einsetzen, also Definitionsbereich = ℝ.

Für die Ableitung machen wir gleich oben weiter und wenden die Kettenregel an:

52x21=eln(52x21)=e(2x21)ln(5)=e(2x21)ln(5)((2x21)ln(5))=e(2x21)ln(5)(2x2ln(5)ln(5))=52x214xln(5) 5^{2x^2-1}=e^{ln(5^{2x^2-1})}=e^{(2x^2-1)ln(5)}=e^{(2x^2-1)ln(5)}\cdot((2x^2-1)ln(5))'=e^{(2x^2-1)ln(5)}\cdot(2x^2ln(5)-ln(5))'=5^{2x^2-1}\cdot 4xln(5) Dabei haben wir im letzten Schritt den e-hoch-Term wieder vereinfacht, resp. den Prozess den wir ganz am Anfang gemacht haben, sind wir wieder rückwärts gegangen.

Nun zum Definitionsbereich von h(x), hier gilt wieder:

(5x+1)ln(x2+2x+3)=eln((5x+1)ln(x2+2x+3))=eln(x2+2x+3)ln(5x+1) (5x+1)^{ln(-x^2+2x+3)}=e^{ln\left((5x+1)^{ln(-x^2+2x+3)}\right)}=e^{ln(-x^2+2x+3)\cdot ln(5x+1)} Jetzt ist die ln-Funktion nur für x in ℝ, x>0 definiert, also müssen wir sicherstellen, dass die Werte in den ln's nicht kleiner oder gleich 0 werden. Das gibt uns die folgenden beiden Ungleichungen:

5x+1>0x>155x+1>0 \Rightarrow x>-\frac{1}{5}

x2+2x+3>0(x1)(x3)>0(x<1x>3)(x>1x<3)-x^2+2x+3>0 \Leftrightarrow (-x-1)(x-3)>0 \Rightarrow (x<-1\land x>3)\lor (x>-1\land x<3) Nun haben wir etwas viele Bedingungen für den Definitionsbereich, wenn man sich nun die 1.Kombination der 2.Ungleichung genauer anschaut, sieht man dort x<-1, das steht jedoch im Widerspruch zu x>-1/5. D.h. diese Kombination können wir rausschmeissen. Es bleiben nur noch drei Bedingungen und die ergeben zusammen D: -1/5<x<3.

Die Lösungen zu solchen Aufgaben findest du sonst auch bei WolframAlpha https://www.wolframalpha.com/input/?i=%284x%5E2-1%29%5E%28sin%28x%29…. Wenn du nur den Definitionsbereich willst, kannst du einfach deine Funktion und das Wort domain eingeben.

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F(x) = f(x)g[x] = EXP(LN( f(x)g[x] )) = EXP(g[x] * LN(f(x)))

F'(x) = EXP(g[x] * LN(f(x))) * (g'(x) * LN(f(x)) + g(x) * 1/f(x) * f'(x))

F'(x) = f(x)g[x] * (g'(x) * LN(f(x)) + g(x) * f'(x)/f(x))


f(x) = 52x^2-1

f'(x) = 4·52·x^2 - 1·x·LN(5)


g(x) = (4·x2 - 1)SIN[x]

g'(x) = (4·x2 - 1)SIN[x] * (COS(x) * LN(4·x2 - 1) + SIN(x) * (8·x)/(4·x2 - 1))


Die letzte Funktion darfst du mal selber probieren. Nutze Wolframalpha um dein Ergebnis zu kontrollieren.

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