Zu b):
Die Tricks, die bei all diesen Aufgaben helfen, sind:
eln(x)=xeln(xa)=ea⋅ln(x) Ich werde dir f(x) und den Definitionsbereich von h(x) (der hat noch seine Tücken) ausführlich vorlösen:
Definitionsbereich von f(x):
52x2−1=eln(52x2−1)=e(2x2−1)ln(5) Nun ist die e-Funktion auf ganz ℝ definiert, d.h. du kannst für x einen beliebigen Wert aus ℝ einsetzen, also Definitionsbereich = ℝ.
Für die Ableitung machen wir gleich oben weiter und wenden die Kettenregel an:
52x2−1=eln(52x2−1)=e(2x2−1)ln(5)=e(2x2−1)ln(5)⋅((2x2−1)ln(5))′=e(2x2−1)ln(5)⋅(2x2ln(5)−ln(5))′=52x2−1⋅4xln(5) Dabei haben wir im letzten Schritt den e-hoch-Term wieder vereinfacht, resp. den Prozess den wir ganz am Anfang gemacht haben, sind wir wieder rückwärts gegangen.
Nun zum Definitionsbereich von h(x), hier gilt wieder:
(5x+1)ln(−x2+2x+3)=eln((5x+1)ln(−x2+2x+3))=eln(−x2+2x+3)⋅ln(5x+1) Jetzt ist die ln-Funktion nur für x in ℝ, x>0 definiert, also müssen wir sicherstellen, dass die Werte in den ln's nicht kleiner oder gleich 0 werden. Das gibt uns die folgenden beiden Ungleichungen:
5x+1>0⇒x>−51
−x2+2x+3>0⇔(−x−1)(x−3)>0⇒(x<−1∧x>3)∨(x>−1∧x<3) Nun haben wir etwas viele Bedingungen für den Definitionsbereich, wenn man sich nun die 1.Kombination der 2.Ungleichung genauer anschaut, sieht man dort x<-1, das steht jedoch im Widerspruch zu x>-1/5. D.h. diese Kombination können wir rausschmeissen. Es bleiben nur noch drei Bedingungen und die ergeben zusammen D: -1/5<x<3.
Die Lösungen zu solchen Aufgaben findest du sonst auch bei WolframAlpha https://www.wolframalpha.com/input/?i=%284x%5E2-1%29%5E%28sin%28x%29…. Wenn du nur den Definitionsbereich willst, kannst du einfach deine Funktion und das Wort domain eingeben.