Ableitungen und Differenzierbarkeit. f(x):= 1/x hat f'(x) = -1/x^2

Question

Ich habe leider noch keine wirkliche Idee wie ich an die verschiedenen Aufgabe herangehen soll und bräcuht ein bisschen hilfe.

Comments

Für \(x\ne0\) gilt$$\frac{f(x+h)-f(x)}h=\frac{\frac1{x+h}-\frac1x}{h}=\frac{-1}{x(x+h)}\xrightarrow{_{\,h\to0\,}}-\frac1{x^2}.$$

---

ok, danke :)
Kann noch jemand bei b-d helfen?

---

hat keiner einen Ansatz?

---

b) Kannst Du bestaetigen, indem Du die Gleichung mit dem Nenner links multiplizierst und dann rechts ausmultiplizierst. Womoeglich hast Du auch schon mal eine Formel der Art \(a^n-b^n=(a-b)(\ldots)\) gesehen?

c) Da sollst Du b) anwenden! ;)

d) Da sollst Du c) anwenden! ;)

---

ok. das ist ja schonmal ein Ansatz. Werd ich versuchen :)

---

aber bei b) geht dein Ansatz nicht, ich da nach meiner formel ja hätte:

(a-b)=aⁿ-bⁿ* Summenzeichen

---

Du sollst b) einfach durch Nachrechnen verifizieren oder es auf die altbekannte Formel $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$ zurueckfuehren.

---

Aber wie soll ich das denn nachrechnen? Die Summenformel komplett aus zurechnen würde ja Jahre dauern

---

Probier das mal. Das ist eine Frage von 5 Minuten.

Wenn dir das zu lange dauert, versuch es mit einem Induktionsbeweis. 

---

Deswegen benutzt man in der Mathematik gerne abkürzende Darstellungen wie bspw. das sogenannte Summenzeichen...

---

also muss ich das dann irgendwie so machen??

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y^%28%28m-1%2Fm%29%29x^0%29*%28y^%281%2Fm%29-x^%281%2Fm%29%29