lim -> unendlich: sin(sqrt(x)) - sin(sqrt(x+1))

Question

kann mir jemand bei folgender Berechnung helfen?

lim (x → ∞) sin(√x) - sin(√(x+1))

Durch reine Logik müsste der Grenzwert ja 0 sein, oder? Aber wie beweise ich das?

Answer 1

verwende sin(a) - sin(b) = 2 cos( (a+b)/2) * sin ( (a-b)/2 )

mit a= wurzel(x) und b = wurzel(x+1)

dann geht ( a-b) / 2 gegen 0 also    sin ( (a-b)/2 )  auch und

der andere Faktor 2 cos( (a+b)/2)  ist beschränkt.

also insgesamt GW = 0 .

Comments

Die Aufgabe wurde mir im Kontext mit l'Hôpital gestellt.

Leider finde ich keine Möglichkeit den Term als Bruch umzuschreiben. Hast du vielleicht einen Tipp?

---

vielleicht für die Teilüberlegung   Grenzwert von √x   -  √(x+1)   für x gegen ∞.

Aber auch da würde ich so argumentieren:

√x   -  √(x+1)

= ( √x   -  √(x+1) )* ( √x   +  √(x+1) )     /    ( √x   +  √(x+1) )

=( x - (x+1))  /         ( √x   +  √(x+1) )

= -1 /     ( √x   +  √(x+1) )

und ein Bruch mit Zähler -1 und Nenner gegen unendlich geht

gegen 0.

D'Hospital sehe ich in dem Zusammenhang nicht ???

Answer 2

Diese Aufgabe wurde bereits vorletztes Semester gestellt, und wie folgt gelöst: